Intégrale de polynômes et orthogonalité (Maths L2)

[Benjamin56400]

Bonsoir,
Je fais appel à ce forum car je suis sur un DM où je suis complètement bloqué, je cherche juste une piste pour pouvoir commencer quelque chose, parce qu'en une demi-heure je n'ai rien fait malgré ma réflexion et mes recherches.
L'Exercice se présente comme suit :
Soit E=R²[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à deux et à coefficients réels.
On souhaite calculer :
d=inf{intégrale(0,1)(1+ax+bx²)² dx : a,b appartenant à l'ensemble des réels.}

Soit F = Vect(X,X²) et soit le produit scalaire sur E définit par :
E x E -> R
(P(X),Q(X)) -> <P,Q> = intégrale(0,1)P(t)Q(t) dt

1. Déterminer un polynôme P3(X) = 3 + aX + bX² qui soit orthogonal à F = Vect(X,X²) et calculer sa norme.
2. Déterminer le projeté orthogonal Q du polynôme constant 1 sur F en fonction de P3
3. Montrer la double égalité d = ll1-Qll² = <1,P3>²

Merci beaucoup de votre aide d'avance !

Benjamin, L2 en Licence de Mathématiques.

[Rhaegar]

Bonsoir,

est orthogonal à et . Les relations et doivent te permettre de déterminer et .