Polynome de meilleure approximation.

[Mikihisa]

Bonjour,

On considère l'espace vectoriel normée des application continue de muni de la norme uniforme et le s-ev des fonction polynomiale de degré n.

Pour je cherche à montrer qu'il existe un polynome qui minimine la sitance, i.e. tel que .

En fait j'ai remarquer que la fonction était continue et meme lipschitzienne mais je ne trouve pas l'argument qui permet de conclure que la distance est bien atteinte :/

Vous pourriez me mettre sur la piste s'il vous plait ?

Merci à vous.

[Mikihisa]

Bon en fait j'ai trouver, il suffisait d'appliquer la définition de la borne inf pour obtenir une suite de polynome de sorte que converge. En utilisant la continuité puis le fait que est fermé on conclut.

c'est bon ?

[Ben314]

Salut,
AU départ j'avais mal lu ton énoncé et je m'apprêtait à dire que c'était du grand n'importe quoi... (comme d'hab. quoi... :ptdr:)
Sauf que non, ton énoncé est parfaitement correct du fait que l'on cherche à projeter sur l'espace des polynômes de degré n fixé d'avance (alors que le projeté sur l'espace de tout les polynômes n'existe en général pas).

Bon, sinon, pour revenir à ta question, si tu as utilisé UNIQUEMENT le fait que est fermé, ben ton truc est forcément faux. Il faut que tu utilise plus fort que ça.
Tu as utilisé quoi pour justifier que ta suite converge ?


P.S. Et évite aussi d'écrire des ENORMITES comme le fait que l'ensemble des polynômes de degré n est un s.e.v. de ([a,b]) : il ne contient même pas la fonction nulle...

[Mikihisa]

Mince j'ai tout effacer ......

Donc je disait, l'énoncer est pas clair, c'est seulement écrit que Pn est l'ensemble des fonction polynomiale, mais çà n'a aucun sens donc j'ai supposer qu'il s'agissait des polynome de degré AU PLUS n.

Je justifie que la suite (pn) converge car la fonction A : p -> ||f-p|| est continue, comme ||f-pn|| = A(pn) converge j'en déduit que (pn) converge.

Sinon si c'est les polynome de degré EXACTEMENT n je vois pas trop, et evidemment ce n'est pas un s-ev. Mais on peut peut-etre montrer que c'est alors un compact ?

[Ben314]

...||f-pn|| = A(pn) converge j'en déduit que (pn) converge.

Ca, c'est clairement faux, rien qu'en dimension 2, si tu prend une suite de vecteurs tous de norme 1, tu vois bien que ça prouve pas du tout que la suite de vecteurs est convergente (tout ce que tu sait, c'est qu'il sont sur le cercle trigo...)

Concernant l'histoire du degrés, c'est ÉVIDEMENT de l'ensemble des polynômes de degré au plus égal à n dont on parle : c'est un s.e.v. "naturel" de (et c'est surement pas l'ensemble des polynômes de degré n)

[Mikihisa]

Ca, c'est clairement faux, rien qu'en dimension 2, si tu prend une suite de vecteurs tous de norme 1, tu vois bien que ça prouve pas du tout que la suite de vecteurs est convergente (tout ce que tu sait, c'est qu'il sont sur le cercle trigo...)

Ah oui effectivement :/

Pourtant je viens de relire l'énoncer dit clairement "On note Pn l'espace vectoriel des fonction polynomiale".

Si j'arrive à justifier que la suite est bien convergente sinon, la demonstration marche ?
En fait la fonction Pn -> R est plus que continue elle est Lipschitzienne donc je peut peut etre m'en sortir avec ca :/

[Ben314]

Pourtant je viens de relire l'énoncer dit clairement "On note Pn l'espace vectoriel des fonction polynomiale".

Et comme tu l'as déjà dit, c'est clairement une faute de frappe (un truc avec un n en indice qui dépend pas de n => ???)
Sauf que ce qu'il faut lire à la place, c'est "On note Pn l'espace vectoriel des fonction polynomiale de degré au plus n" et surement pas "... de degré égal à n"

Si j'arrive à justifier que la suite est bien convergente sinon, la demonstration marche ?

Oui, mais de toute façon, ce qu'on te demande de montrer c'est clairement équivalent à montrer que ta suite converge (encore que je sais pas comment tu l'a définie ta suite (q_n)_n de polynômes...)

En fait la fonction Pn -> R est plus que continue elle est Lipschitzienne donc je peut peut être m'en sortir avec ca :/

Il y a plusieurs façons de conclure, mais de toute façon, tu ne coupera pas à l'utilisation soit de la compacité, soit de la complétude vu que ce sont les deux "trucs" élémentaire pour justifier qu'une suite pas bien connue est convergente.

[Mikihisa]

Oui donc c'est bien ce que je pensais il s'agit des polynome de degré au plus n (c'est une erreur dans mon premier message).

J'avais bien penser à utiliser la compacité depuis le debut, mais je ne voyais pas comment montrer que Pn est effectivement compact, d'ailleurs l'est-il seulement ...

[Mikihisa]

Fin j'veux dire Pn n'est pas du tout bornée pour la norme uniforme :/

[Ben314]

Non, Pn n'est effectivement pas compact, MAIS c'est un e.v. de dimension finie donc toute partie fermée bornée de Pn est compacte (et concernant le "borné", peut-importe la norme vu qu'elle sont toutes équivalentes).
Ensuite, si on pose d=inf{||q-f|| pour q décrivant Pn}, que peut tu dire de l'intersection de Pn et de la boule fermée de centre f et de rayon d+1 ?

[Mikihisa]

Bon et sinon, j'ai la suite ||f-pn|| qui converge donc la suite (pn) est bornée.
Il existe donc une boule fermé de centre f qui contient tout les pn. Or Pn est de dimension fini, cette boule est donc compact et on peut extraire une suite convergente ...

Mais bon ça utilise 150 théorème HP pour un exercice de niveau L2 ....

[Mikihisa]

Tu voulais dire que cette intersection est non vide
Par définition de la borne inf ? Remplacer 1 par 1/n ?

Ps: pile au moment ou tu reviens j'ai eu une illumination xD

[Ben314]

Bon et sinon, j'ai la suite ||f-pn|| qui converge donc la suite (pn) est bornée.

Vrai, mais... à justifier...

Et niveau L2 "basique", c'est à dire sans utiliser ni la compacité, ni la complétude, je vois pas comment tu t'en sort.

Ou alors, il faut revenir à des "fonction coordonnées" ou un truc du style pour utiliser la compacité sans le dire (i.e. utilisé les propriétés vue dés le Lycée concernant les fonction continues sur un segment contenu dans R)

[Mikihisa]

Enfin non stun sujet de concours donc le programme officiel c'est plus celui de MP* que de L2, mais bon ...

Ah sinon je viens de penser mais :
||pn|| = ||pn-f+f|| < ||pn-f|| + ||f|| qui est bien borne ? Ça me paraît un peu simpliste :/

[Ben314]

Enfin non stun sujet de concours donc le programme officiel c'est plus celui de MP* que de L2, mais bon ...

Ah sinon je viens de penser mais :
||pn|| = ||pn-f+f|| < ||pn-f|| + ||f|| qui est bien borne ? Ça me paraît un peu simpliste :/

Ca marche parfaitement.
Mais en fait on peut même ne (quasiment) rien dire du tout : si tu as pris tes polynôme dans la boule de centre f et de rayon d+1 alors ta suite est évidement bornée vu qu'il sont tous dans la boules de centre f et de rayon d+1...
(après, effectivement, il faut savoir que toute boule est bornée ce qui se démontre exactement comme tu vient de le faire avec l'inégalité triangulaire...)

[Mikihisa]

Merci pour ton aide en tous cas.