Meilleure approximation

[Sylar]

Bonjour,comment déterminer la meilleure approximation d'ordre 1 pour la norme de convergence uniforme ?
J'aimerai la définition ,merci....

[BQss]

Bonjour,comment déterminer la meilleure approximation d'ordre 1 pour la norme de convergence uniforme ?
J'aimerai la définition ,merci....

à l'ordre 0 on a ca:
on suppose h continue vu la norme considérée.
on a donc lim_(h tend vers 0) ||h(x+h)||=||lim h(x+h)|| par contuité de la norme
puis = ||h(x)|| par continuité de h.

ce qui s'ecrit:
||h(x+h)||=||h(x)||+o(1) .


maintenant a l'ordre 1, je ne vois pas trop ce qu'on peut dire si on ne suppose pas en plus h differentiable. Un peu loin pour moi, d'autre t'en diront plus sans doute.

[Sylar]

Merci pour ta réponse ; par exemple j'ai :

déterminer la meilleure approximation d'ordre 1 pour la norme de convergence uniforme de la fonction : f(x)=x+sqrt(x) sur [0,1]

et la je vois pas quoi faire...

[BQss]

Merci pour ta réponse ; par exemple j'ai :

déterminer la meilleure approximation d'ordre 1 pour la norme de convergence uniforme de la fonction : f(x)=x+sqrt(x) sur [0,1]

et la je vois pas quoi faire...

Bonsoir un petite idée mais on doit pouvoir faire mieux:

, pour ]a;1] avec a>0
Par l'IAF tu majores |f(x+h)-f(h)| par k|h|.
Puis tu passes au sup.

Ou on peut faire:
|f(x+h)|=|f(x+h)-f(0)|<=k|x+h|=k(x+h)=kx+o(1) (*edit, celle la est fausse car la dérivée n'est pas majorée sur ]0;1])

*edit tu es sur que c'est 0 inclu ?

[BQss]

autre piste qui moi me convient cette fois (oublie l'IAF, il semble que cela ne mene nul part):

sup (f(x+h)| = sup |x+h + V(x+h)| = sup |x+h|+sup|V(x+h)|=1+h+V(1+h)

puis tu appliques le dl de V(1+h) en 0:

ce qui donne ||f(x+h)||= 1+h+ (1+1/2h+o(h))=2+3/2h+o(h) à l'ordre 1

[Sylar]

Merci BQss oui c'est bien 0 inclus.