Caractérisation d'une meilleure approximation

[rocentin]

Je cherche à démontrer (sans réussite) les 2 résultats suivants:

le rationnel p/q est une meilleur approximation de x => |qx - p |< 1/q²

et:

|qx - p|<1/(2q²) => p/q est une réduite de x (ou un meilleur approximation de x, c'est équivalent!) (d'aprés le dévellopement en fraction continue...)

à titre informatif, je m'appuie sur la définition suivante:
un rationnel p/q est dit meilleur approximation de x ssi:
pour tout p'/q' avec 0

Je me suis attaché à une démonstration par l'absurbe pour le premier point que je n'arrive pas à aboutir... (il s'agit de trouver p'/q' tel que |q'x - p'|<|qx - p|...ce qui contredirait la prémice!).
Pour ce qui est du second ennoncé il parait assez proche du premier mais ne se laisse pas non plus faire trés facilement.
Merci d'avance de l'aide que vous pourrez m'apporter en m'indiquant vos idées ou d'éventuelles sources d'informations pouvant me mettre sur la piste.

[buzard]

Bonjour,

Il me semble que cela ce montre par récurrence en considérant la suite Pn/Qn des réduites.

ou par récurrence inverse suivant les notations que tu utilise (certains auteur utilisent les suites définies sur Z : ...,u_-2, u_-1, u_0, u_1, ...

en utilisant l'inégalité triangulaire et des majorations des écarts précédents. il me semble qu'il est possible de pousser la constante en bas jusqu'à . Ne me demande pas comment ça doit pas être simple.

[rocentin]

Je vais effectivement tenter cela en exploitant les Pn/Qn, cependant quoi qu'en dise le cours que j'ai sur les fractions continues, l'égalité : [a0,a1,a2,...,an]=Pn/Qn, les suites (Pn) et (Qn) étant définies par une récurence d'ordre 2 n'est pas facile à mettre en place, si quelqu'un a des Hints à ce sujet là je suis également preneur :happy2: (la récurrence est évidemment à utiliser, mais je bloque sur le passage de HRn à HRn+1)...

Merci du tuyau, je vais essayer de voir ce que je peux faire avec les Pn/Qn que je mettrais en place aprés si cela abouti!

[yos]

Bonjour.
Tu peux vérifier ton énoncé : je crois pas au q² au dénominateur (mais je peux me tromper).

[buzard]

tu peut consulter wikipedia sur les fractions continues pour avoir la trame de la démonstration.

écrit sous cette forme ce n'est pas q² en effet mais q, sinon il faut ecrire |x-p/q|

[Riemann]

Il me semble que c'est Legendre qui a démontré cette propriété et la formule exacte est bien |x-p/q|<1/q².

[rocentin]

En effet cela parrait passer beaucoup mieu en 1/q!!!Merci de m'avoir éclairer, il est plus facile de démontrer un résultat lorsqu'il est juste!

C'est donc désormais au deuxiéme énoncé que je m'attache. J'ai consulté l'article de Wikipédia, qui bien que trés complet, n'apporte pas vraiment de démonstration...mais les résultats que je cherchent à démontrer sont en effet intégrallement énoncés dans cet article à la partie: 5.Quelques théorèmes très utiles.

Je souhaiterai cependant toujours pouvoir faire le lien entre [a0,a1,a2,...,an] et Pn/Qn si quelqu'un arrive à voir comment négocier la récurrence.

Merci pour vos éclaircissement, Je vous informe au passage que je fais ces travaux dans le cadre de mon TIPE (en MP) dans lequel je traite des fractions continues et sur lesquels je souhaiterai donc être plus solide bien que le sujet ne soit pas à mon programme de math...d'où une certaine naïveté de ma part sur le sujet que, j'en suis sûr, vous saurez m'excuser :hein: .

[fahr451]

cependant quoi qu'en dise le crous

ben l'université française a bien changé ;on débat de choses intéressantes

dans des institutions a priori pas prévues pour cela :we:

[rocentin]

c'était une faute de frappe...tout le monde aura bien entendu compris qu'il s'agissait "du cours sur les fractions continues" et que le CROUS (par ailleurs fort utile!!) n'avait absolument rien à voir avec tout cela :we: !!

[buzard]

En effet cela parrait passer beaucoup mieu en 1/q!!!Merci de m'avoir éclairer, il est plus facile de démontrer un résultat lorsqu'il est juste!

remarque il n'est pas faux pour de nombreux x (ceux qui sont irrationnelle entre autre), donc presque vrai.

C'est donc désormais au deuxiéme énoncé que je m'attache. J'ai consulté l'article de Wikipédia, qui bien que trés complet, n'apporte pas vraiment de démonstration...

il te donne tout les théorèmes à utiliser pour le faire. entre autre la majoration de l'écart de deux réduites successive, qui permet de conclure.

Je souhaiterai cependant toujours pouvoir faire le lien entre [a0,a1,a2,...,an] et Pn/Qn si quelqu'un arrive à voir comment négocier la récurrence.

il suffit de faire la substitution [y<-1/(a_n+1)] dans le premier théorème donnée sur wiki.

Merci pour vos éclaircissement, Je vous informe au passage que je fais ces travaux dans le cadre de mon TIPE (en MP) dans lequel je traite des fractions continues et sur lesquels je souhaiterai donc être plus solide bien que le sujet ne soit pas à mon programme de math...

J'avais choisi le même thème pour le mien. tâche assez ardu, surtout à cause de la lourdeur des notations. et puis pour la partie application j'avais dû chercher loin. Entre autre tu peut parler de l'accélération de convergence, la démonstration du théorème KAM, l'intégration d'équation différentielle elliptique (je sais plus le nom)

[rocentin]

il suffit de faire la substitution [y<-1/(a_n+1)] dans le premier théorème donnée sur wiki.

C'est précisément ce premier théoréme que je cherche à démontrer dans ma récurrence... le fait que:

[a1,a2,a3...,an-1,y]=(yPn-1+Pn-2)/(yQn-1+Qn-2) ce qui n'est pas evident!