Polynôme et formule de Leibniz

[Fanfan]

Bonjours à tous, pourriez-vous me donner un indice pour continuer ce DM ?
On sait que :

-> f(x)=exp(x)/(1-x)
f est de classe C(infinie)
le dérivée nième de f est : f(n)(x)=exp(x)*Pn(x)/(1-x)^(n+1) Pn est un polynôme.
P0(x)=1, P1(x)=-x+2,P2(x)=x^2-4x+5
Pn(1)=0
(x-1)f'(x)-(x-2)f(x)=0

voila tout ce qu'on sait, maintenant, on doit montrer par la formule de Leibniz :

Pn+1(x)=(n+2-x)f'(x)Pn(x)+n(x-1)Pn-1(x)

Pouvez-vous me dire quelle fonction dérivée par la fomule de leibniz ?
Merci pour votre aide.

[yos]

Tu veux absolument utiliser la formule de Leibniz?
Si tu dérive tu obtiens ton résultat je pense.

[Fanfan]

Oui car c'est précisé dans l'énoncé : "en utilisant la formule de Leibniz"
Merci pour ton aide

[yos]

.Ah non, il vaut mieux Leibniz : prends .

[Fanfan]

Tu me conseil de partir sur f(n) donc ? et de noter :

( exp(x)*(1-x)^-1)(n) avec Leibniz ?

[yos]

Oui. Ca va bien, on trouve une formule simple pour et j'imagine que la formule de récurrence en découle.

[Fanfan]

ok je vais essayer, merci beaucoup

[Fanfan]

Voila ce que j'obtiens :

(exp(x)(x-1)^-1)(n)=somme de :exp(x)(k)*[(1-x)^-1](n-k)

=n!exp(x)*[ (1-x)^-(n+1) + (1-x)-n + 1/2*(1-x)^-(n-1)+ ...

Es-tu parti comme ça ?

[yos]

Il te manque des coefs non?
.
Avec un changement k'=n-k pour la dernière égalité.

[Fanfan]

Je n'ai pas réussi à atteindre mon but comme ça, tu a réussi ?

[yos]

Ben...on trouve
et on peut en déduire la relation de récurrence .
Tu es d'accord avec ça?

Pour l'autre relation je trouve un peu bizarre qu'elle soit si compliquée vu qu'on arrive à ce truc plus simple.
En tout cas tu peux à coup sûr la prouver de droite à gauche en utilisant ce qui précède.