Polynôme et enveloppe convexe

[ffpower]

Bonjour,

Je suis un ami de FFPower, je m'appelle PPFlower. Je me suis posée une question de mathématiques :

Si est un polynôme de degré on pose l'enveloppe convexe des zéros de .
Le théorème de Gauss-Lucas nous informe que l'on a .

Je me demande si l'on suppose que , est-ce que forcément on a .

Peut-être que la relation peut aider.

cordialement.

[Ben314]

Salut,
"" est une façon un peu technique de dire que P(0)=0.
"" est une façon un peu technique de dire que 2P(0)+0.P'(0)=0.
conclusion.

[ffpower]

Salut..( Cette fois c'est le vrai ffpower^^ )
Ne te laisse pas berner par ses notations : Z(P) est L'ENVELOPPE CONVEXE des zeros de P.

[Ben314]

Salut..( Cette fois c'est le vrai ffpower^^ )
Ne te laisse pas berner par ses notations : Z(P) est L'ENVELOPPE CONVEXE des zeros de P.

ça m'apprendra à ne lire qu'une ligne sur 2...

[Doraki]

J'ai un peu réfléchi mais pour le moment j'suis absolument sec.

PPflower c'est joli comme nom.

[Ben314]

Le résultat est faux par exemple pour P(X)=(X-i)(X+i)(X-1-i)(X-1+i) : 0 est dans z(P), mais, vu que le polynôme 2P+XP' a ces quatres racines de parties réelles strictement positives, 0 n'est pas dans z(2P+XP')

[ffpower]

Bonjour,

Je suis PPFLower.
Je te remercie, ça marche très bien.
Je vais donc changer mon fusil d'épaule, voici donc ma nouvelle question :

Si je suppose que , est-ce que est inclus dans un demi-plan fermé F qui contient dans sa droite frontière.

Sinon bravo, pour le contre-exemple, on le vérifie en faisant un dessin.

[ffpower]

(PPFlower) De nouveau ma question tombe à l'eau.
Avec le contre-exemple de Ben314, si on regarde le polynôme dont les racines sont et .
Avec très petit.
Par continuité des racines, clairement le polynôme va avoir toutes ses racines de partie réelle . Tandis qu'aucun demi-plan fermé d'équation ne peut contenir tous les zéros de .
Hum, bon je vais méditer à la bonne question.