P polynôme, P(t)=cos(t) n'a qu'un nombre fini de racines

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math71
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P polynôme, P(t)=cos(t) n'a qu'un nombre fini de racines

par math71 » 12 Jan 2019, 17:36

Bonjour,
Soit P un polynôme de degré au-moins 1. Montrer que l'équation cos(t) = P(t), n'a qu’un nombre fini de racines.
Tout d'abord je dis que si P est au-moins de degré 1, il n'est pas le polynôme nul et n'a donc qu'un nombre fini de racines.
Je pensais ensuite raisonner par l'absurde et supposer que l'équation a une infinité de racines. Alors d'après le théorème de Rolle, si on appelle f la fonction qui à x associe cos(t) - P(t) , f' a une infinité de racines, puis f'' aussi et ainsi de suite, mais comme au bout d'un nombre fini de manip la dérivée nième de P est la fonction nulle, on a une fonction trigonométrique cos ou sin qui s’annule une infinité de fois et il n'y a aucune contradiction, donc ce raisonnement ne marche pas...
Merci d’avance pour un petit coup de pouce...



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Sa Majesté
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Re: P polynôme, P(t)=cos(t) n'a qu'un nombre fini de racine

par Sa Majesté » 12 Jan 2019, 18:17

Salut,
Pour ma part j'utiliserais les limites à +/- l'infini de P qui sont nécessairement +/- l'inifini pour P de degré au moins 1.
Du coup il existe un réel M > 0 tel que pour tout x < -M et tout x > M, |P(x)| > 1.
L'équation cos x = P(x) ne peut donc avoir de solutions que dans l'intervalle [-M,M].

math71
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Re: P polynôme, P(t)=cos(t) n'a qu'un nombre fini de racine

par math71 » 12 Jan 2019, 18:46

Merci. Donc je peux reprendre ensuite mon raisonnement par l'absurde comme expliqué dans mon premier message avec Rolle et j'aurais cos ou sin qui aurait une infinité de racines sur [-M;M] ce qui n'est pas vrai. Super encore merci!

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mathelot
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Re: P polynôme, P(t)=cos(t) n'a qu'un nombre fini de racine

par mathelot » 12 Jan 2019, 18:54

Sinon, les zéros de f forme un ensemble discret (les zéros sont (topologiquement) isolés) car...la fonction est analytique,non nulle.
Un théorème de topologie dit qu'un ensemble discret inclu dans un compact est un ensemble fini,
ce qui évite le raisonnement par l'absurde.
Modifié en dernier par mathelot le 12 Jan 2019, 22:29, modifié 1 fois.

math71
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Re: P polynôme, P(t)=cos(t) n'a qu'un nombre fini de racine

par math71 » 12 Jan 2019, 18:58

Ben, on n'a pas encore fait de topologie, je ne sais pas ce qu'est un compact... je crois qu'on va faire ça au second trimestre. Merci quand même je me le note, pour quand je l'aurai appris.

 

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