Polynome de Bernoulli !

par **barbu23** » 08 Mar 2009, 23:32

Bonsoir : :happy3:
On dit que les polynomes de Bernoulli ont été conçu pour repondre à la question suivante :
Determiner :

tel que :

On dit que :

génére

Je voudrai savoir comment il savant que :

:

Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 08 Mar 2009, 23:37

Bon pour :

, d'accord : il suffit de calculer la valeur de la fonction generatrice en

!
Pour les deux autres, c'est pas du tout evident ! :cry:

Merci d'avance de votre aide ! :we:

par **barbu23** » 09 Mar 2009, 01:02

Pour la deuxième formule :
On dérive par rapport à

les deux membres de l'égalité :

On obtient :

On divise par

, on obtient la première équation :

Après comment on fait ? :cry:

par **barbu23** » 09 Mar 2009, 01:10

On est arrivé à l'expresion :

On a par contre : :

i.e :

Mais, ce n'est pas la formule recherché ! :hein:
Il manque quelques choses ! :hein:

par **Joker62** » 09 Mar 2009, 02:41

C'est parce que B'(n+1) = (n+1)Bn

par **barbu23** » 09 Mar 2009, 05:24

Oui, mais ex ils disent que :

et non pas :

:hein: :hein: :hein:

par **Joker62** » 09 Mar 2009, 12:57

Y'en a qui disent des choses fausses alors :p

par **barbu23** » 09 Mar 2009, 16:19

Oi, tu as raison Joker , merci ! :happy3:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Bernoulli
Par contre , pour la troisième formule, je ne vois pas du tout comment la trouver ! :hein: :hein: :hein:
MErci d'avance de votre aide ! :happy2:

par **Joker62** » 09 Mar 2009, 17:27

Calcule l'intégrale entre 0 et 1 de l'expression à droite (par rapport à x) ( On trouve 1 )

C'est égale à l'intégrale entre 0 et 1 de la somme machin bidule
On fait un ptit coup de Fubini ( à justifier )
Et on conclut que pour que ce soit égale à 1, il faut nécessaire que tout les B_n avec n >= 1 soit d'intégrale nulle sur [0;1]

par **Joker62** » 09 Mar 2009, 18:01

Tu dois être content de savoir que cette année le CAPES portait sur ces polynôme :p ?

par **barbu23** » 09 Mar 2009, 18:07

C'est vrai ? :king: :happy3:

par **Joker62** » 09 Mar 2009, 18:13

Tout à fait !
Sujet sympathique en plus :)

par **barbu23** » 09 Mar 2009, 18:13

Or :

Donc :

:hein: :hein: :marteau:

par **Joker62** » 09 Mar 2009, 18:18

Oui en notant c_n l'intégrale machin là
On a une série entière qui est égale à un terme constant.
Donc y'a que le terme pour n = 0 qui n'est pas nul. C'est ce qu'on voulait

par **barbu23** » 10 Mar 2009, 06:41

Oui, c'est vrai ! c'est tellement simple Bernoulli ! :happy3:
Par contre, je suis un peu curieux de decouvrir le sujet de Capes de cette année "Joker" ! :happy3:
Est ce qu'il est à la portée de tout le monde ? ou bien non ?
Apparemment , le sujet est facile puisque ça parle de Bernoulli ! mais puisque le sujet est de 6 pages à peu près, il n'y'a pas que bernoulli à l'examen !
Je ne sais pas où trouver le sujet sur le net ! :hein: :hein: :hein:

par **john32** » 10 Mar 2009, 09:07

Qu'est ce que c'est que tu as en puissance dans l'exponentielle ? (st ?)

Oui c'est surement une question pas tres maligne mais bon je ne comprends pas trop l'expression de depart dsl :triste:

par **Joker62** » 10 Mar 2009, 12:04

Regarde dans la partie Café Mathématiques. Il y a un topic Capes 2009 où j'ai poster les liens vers le sujet.
En gros ça parlait des intégrales de Wallis, de la formule de Stirling, des polynôme de Bernouilli et de la fonction Zeta de Riemann.

Pour John l'expression est t*e^(xt)/((e^t) - 1)

par **barbu23** » 10 Mar 2009, 18:03

Merci "Joker" ! je le lis en ce moment , et il y'a une petite question qui me laisse un peu desemparé : :hum:

:hein: :hein:

par **Joker62** » 10 Mar 2009, 18:29

Au dessus on a montrer que W(n) ~ W(n+1)
Et que Wn.W(n+1) = ;) / 2(n+1)

Donc on a bien Wn^2 ~ ;)/2n

par **barbu23** » 10 Mar 2009, 18:36

Ah oui quel con je suis ! :hum:
c'est vachement simple ! :happy3:

Polynome de Bernoulli !

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