[L1] Polynômes et nombres de Bernoulli.
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Deluxor
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par Deluxor » 21 Mar 2012, 18:39
Bonjour!
Merci de m'aider dans la progression de ce problème.
On rappelle :
!})
On définit :
 = 1 \\<br />\forall n \geq 1, B_n(X) \, = \, \sum_{k=0}^n \binom nk b_k X^{n-k}<br />\end{array}<br />\right.)
1) Vérifier que :
 \, = \, B_n(1) \, = \, b_n)
2) Démontrer que :
 \, = \, n B_{n-1}(X))
3) En déduire que :
.dt \, = \, 0)
4) Etablir par récurrence que :
 - B_n(X) \, = \, n X^{n-1})
5) En déduire que :
 - B_{n+1}(0)))
6)
 \, = \, (-1)^n B_n(1-X))
6.a) Démontrer que la suite
)
est confondue avec la suite
)
6.b) En déduire que :
7) 7.a) Montrer que :
}(t)B_n(t).dt \, = \, b_n \times (f^{(n-1)}(1) - f^{(n-1)}(0)) - n \times (\bigint_{0}^{1} f^{(n-1)}(t)B_{n-1}(t).dt))
7.b) En déduire que :
!} \, \bigint_{0}^{1} f^{(2k+1)}(t)B_{2k+1}(t).dt \, = \, - \frac{b_{2k}}{(2k)!} \, (f^{(2k-1)}(1) - f^{(2k-1)}(0)) \, + \, \frac{1}{(2k-1)!} \, \bigint_{0}^{1} f^{(2k-1)}(t)B_{2k-1}(t).dt)
7.c) Montrer alors la première formule d'Euler-Mac Laurin :
dx \, = \, \frac{f(0)+f(1)}{2} \, - \, \sum_{k=1}^p b_{2k} \frac{f^{(2k-1)}(1) - f^{(2k-1)}(0)}{(2k)!} \, - \, \frac{1}{(2p+1)!} \bigint_{0}^{1} f^{(2p+1)}(t)B_{2p+1}(t).dt)
D'avance merci.
PS : je poste ci-dessous ce que j'ai fait, et là où je bloque.
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Deluxor
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par Deluxor » 21 Mar 2012, 18:46
1) Pour tout
, on a :
 \, = \, \bigsum_{k=0}^{n} \binom nk b_k 0^{n-k} \, = \, \bigsum_{k=0}^{n-1} 0 + \binom nn b_n \, = \, b_n)
 \, = \, \bigsum_{k=0}^{n} \binom nk b_k \, = \, \bigsum_{k=0}^{n-1} \binom nk b_k + \binom nn b_n \, = \, b_n)
D'où :  = B_n(1) = b_n)
Est-ce juste?
2) J'ai commencé... sans résultat concluant :
 \, = \, \bigsum_{k=0}^{n} \binom nk b_k (n-k) X^{n-k-1} = \bigsum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k-1)!} b_k X^{n-k-1})
Et :
 \, = \, \bigsum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} b_k X^{n-k-1})
D'où :
 \, = \, \bigsum_{k=0}^{n-1} \frac{n!}{k!(n-k-1)!} b_k X^{n-k-1})
Est-ce juste? Est-ce un bon départ?
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ev85
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par ev85 » 21 Mar 2012, 18:54
Deluxor a écrit:1) Pour tout
, on a :
D'où : Est-ce juste?
2) J'ai commencé... sans résultat concluant :
Et :
D'où :
Est-ce juste? Est-ce un bon départ?
Oui pour la 1) Tu craignais quoi ?
Pour la 2) tu as songé à la formule de Taylor ?
amicalement,
e.v.
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Deluxor
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par Deluxor » 21 Mar 2012, 18:55
ev85 a écrit:Pour la 2) tu as songé à la formule de Taylor ?
amicalement,
e.v.
Bonsoir
ev85,
Est-ce que ce que j'ai noté pour la 2) est juste, ou sinon, qu'est-ce qui est faux?
Merci.
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ev85
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par ev85 » 22 Mar 2012, 09:27
Deluxor a écrit:Bonsoir ev85,
Est-ce que ce que j'ai noté pour la 2) est juste, ou sinon, qu'est-ce qui est faux?
Merci.
Je ne sais pas. Quel est l'intérêt que ce soit juste ou faux si tu n'aboutis pas ?
amicalement,
e.v.
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Deluxor
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par Deluxor » 22 Mar 2012, 16:12
Je pensais utiliser le fait que :
 \, = \, n.B_{n-1}(X) \, \Longrightarrow \, B_n(X) \, = \, (\bigint n.B_{n-1}(X)dX))
Or :
dX \, = \, \bigint n.(\bigsum_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}k b_k X^{n-1-k}) dX \, = \, \bigsum_{k=0}^{n-1} n \binom {n-1}k b_k X.\frac{X^{n-k}}{n-k} = \bigsum_{k=0}^{n-1} \binom nk b_k X^{n-k+1})
Est-ce une bonne piste? Comment poursuivre?
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ev85
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par ev85 » 22 Mar 2012, 17:59
Deluxor a écrit:Je pensais utiliser le fait que :
Or :
Est-ce une bonne piste? Comment poursuivre?
Au risque de me répéter, as-tu songé à la formule de Taylor ? elle te donne les
}(0))
en fonction (très simple) des
e.v.
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Deluxor
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par Deluxor » 22 Mar 2012, 18:15
J'arrive donc à :
}(0) \, = \, \frac{n!}{(n-k)!}.b_k.X^n)
Que faut-il faire?
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ev85
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par ev85 » 22 Mar 2012, 18:17
Deluxor a écrit:J'arrive donc à :
Que faut-il faire?
Enlever le
parbleu !
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Deluxor
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par Deluxor » 22 Mar 2012, 18:31
ev85 a écrit:Enlever le
parbleu !
Ah bon?
 \, = \, \bigsum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}.b_k.X^{n-k} \, = \, \bigsum_{k=0}^{n} \frac{B_n^{(k)}(0)}{k!}.X^k)
D'où :
}(0)}{k!}.X^k \, = \, \frac{n!}{k!(n-k)!}.b_k.X^{n-k})
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ev85
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par ev85 » 22 Mar 2012, 18:37
Deluxor a écrit:Ah bon?
D'où :
Ah, je comprends mieux !
ça ne te gène pas d'avoir un polynôme constant égal à un polynôme de degré n ?
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Deluxor
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par Deluxor » 22 Mar 2012, 18:40
ev85 a écrit:Ah, je comprends mieux !
ça ne te gène pas d'avoir un polynôme constant égal à un polynôme de degré n ?
Si en effet, je trouvais cela étrange.
D'où vient mon erreur?
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ev85
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par ev85 » 22 Mar 2012, 18:47
Deluxor a écrit:Si en effet, je trouvais cela étrange.
D'où vient mon erreur?
tes deux sommes
 \, = \, \bigsum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}.b_k.X^{n-k} \, \textrm{ et } \, \bigsum_{k=0}^{n} \frac{B_n^{(k)}(0)}{k!}.X^k)
ne vont pas dans le même sens. L'une dans celui des degrés décroissants et l'autre dans celui des degrés croissants.
Tu dois égaler les termes de mêmes degré, pas ceux qui se présentent en même temps au guichet.
e.v.
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Deluxor
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par Deluxor » 22 Mar 2012, 18:57
D'accord, donc on trouve :
}(0) \, = \, b_k.\frac{n!}{(n-k)!})
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ev85
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par ev85 » 22 Mar 2012, 19:30
Deluxor a écrit:D'accord, donc on trouve :
Pas d'accord. Tu as supprimé le
intempestif, mais tu n'as pas égalé les coefficients de mêmes degrés. Ecris une des deux sommes avec le changement d'indice
.
e.v.
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Deluxor
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par Deluxor » 23 Mar 2012, 20:57
 \, = \, \bigsum_{k=0}^{p+k} \, \frac{(p+k)!}{(n-p)!p!}.b_{n-p}.X^p ?)
Ca me paraît bizarre... je ne vois pas, vraiment.
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ev85
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par ev85 » 23 Mar 2012, 21:00
Deluxor a écrit:Ca me paraît bizarre... je ne vois pas, vraiment.
Et pour cause ! k n'est pas défini ! Donc remplace tes deux p+k intempestifs par des n, plus sobres et surtout parfaitement définis.
e.v.
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Deluxor
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par Deluxor » 23 Mar 2012, 21:36
 \, = \, \bigsum_{k=0}^{n} \, \frac{n!}{(n-p)!p!}.b_{n-p}.X^p)
?
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ev85
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par ev85 » 23 Mar 2012, 21:45
Deluxor a écrit: ?
C'est mieux. Maintenant, un petit tour de passe-passe. Tu changes p en k.
e.v.
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Deluxor
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par Deluxor » 23 Mar 2012, 21:58
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