Polyèdres et Graphes planaires par Von Staudt

[Ben314]

Concernant ton "3 em cas", ce que je crois comprendre, c'est le cas où tu as des faces qui ne sont pas des polygones au sens usuel du terme (i.e. des trucs non simplement connexe).
Par exemple le truc formé d'un gros cube et d'un plus petit posé dessus au milieu de la face : tu te retrouve avec une soi disant "face" qui est un carré avec un trou (carré) dedans.
Là, évidement la formule d'Euler ne marche pas, en particulier parce qu'on peut ajouter une arête sur le carré avec un trou (d'un coin du carré à un coin du trou) sans que ça augmente le nombre de face ni de sommet (et maintenant la formule d'Euler redevient valable).

Mais, la question est évidement de savoir si un truc pareil avec une "face" non simplement connexe doit être ou pas appelé "un polyèdre" ?

[Pseuda]

C'est quoi, un polyèdre concave ?
J'ai déjà écrit ce qu'il en était pour le tore.

Ah oui, cela ne marche plus pour un polyèdre quelconque. Cela me rassure, parce que cela m'étonnerait qu''Euler se soit préoccupé de polyèdres avec des trous ou des rajouts (en plusieurs morceaux). En fait, tout dépend de ce qu'on entend par "quelconque".

Concave = non-convexe. En théorie des graphes, cela ne semble pas avoir d'importance que le polygone ou le polyèdre ait des concavités, car on peut toujours déplacer les sommets d'un polygone non-convexe de façon à le rendre convexe.

[Robot]

Concave = non-convexe.

Définition très bizarre. Une fonction concave n'est sûrement pas une fonction non-convexe.

[Pseuda]

Salut à tous le mathématicien allemand Von Staudt a publié une démonstration très élégante de la formule d'Euler sur les polyèdres : S - A + F = 2. Malheureusement cette formule est fausse dans un cadre général (il faut plus d'hypothèses sur les polyèdres étudiés). Et dans le livre que j'ai a étudier il est dit que Von Staudt ajoute deux hypothèses sur les polyèdres étudiés qui rend la formule correcte.
(1)
(2)

Voilà les hypothèses "correctes" sur le théorème d'Euler. J'ai vu sur un autre livre une démonstration de ce théorème mais cette fois ci elle concernait les graphes planaires connexes. i.e. pour un graphe plan connexe on a S-A+F=2. C'est donc que sous ces hypothèses un polyèdre peut être transformée en un graphe plan connexe et c'est ça qui m’intéresserait de savoir ! Comment avec (1) et (2) on transforme un polyèdre en graphe planaire ?
Je pense que c'est pas compliqué parce que sur internet j'ai vu la réciproque (théorème de Steinitz) qui dit que les graphes planaires 3-sommets-connexes correspondent (isomorphiquement) au graphe d'un polyèdre.
Quelqu'un a une idée de la démo de ce que je recherche ? (1) et (2) => le polyèdre admet un graphe planaire ?

Je ne comprends pas.

On a : conditions (1) et (2) pour un polyèdre (donc pour un graphe) => formule d'Euler : S - A + F = 2
et on a : graphe planaire connexe => formule d 'Euler : S - A + F = 2
Comment sait-on que conditions (1) et (2) => graphe planaire connexe ?

[Pseuda]

Définition très bizarre. Une fonction concave n'est sûrement pas une fonction non-convexe.

Oui, c'était une pirouette pas très précise. Difficile d'imaginer un polyèdre ou un polygone entièrement concave (il y a forcément des endroits convexes).

[Robot]

Je ne comprends pas.
Comment sait-on que conditions (1) et (2) => graphe planaire connexe ?

Je l'ai déjà expliqué, il me semble, dimanche à 17h08 (modulo les imprécisions sur ce qu'est un polyèdre) : parce que 1 et 2 entraînent que la surface du polyèdre est homéomorphe à une sphère.

[Archytas]

Ouais c'est bizarre comme machin... parce que du coup la face trouée n'est pas homéomorphe à un simplexe... à moins qu'on relie les coins des différents trous par des arêtes

[Robot]

Ouais c'est bizarre comme machin... parce que du coup la face trouée n'est pas homéomorphe à un simplexe... à moins qu'on relie les coins des différents trous par des arêtes

Ca fait partie des imprécisions de la définition de polyèdre. Faut-il demander que les faces soient homéomorphes à des disques ?
Si on relie les n trous au bord extérieur par n arêtes, on retrouve le compte de la formule d'Euler avec ces n arêtes en plus ...

[Archytas]

D'accord... Bon j'ai envoyé un mail à mon prof pour savoir quoi faire, après tout c'est devant lui que je devrai présenter l'exposé donc autant qu'on soit d'accord ne serait-ce que lui et moi !
Merci à vous pour vos réponses et bonnes fêtes de fin d'année !

[Ben314]

Je ne sais pas quelle est la preuve dite "de Von Staudt" (moi et les nom de théorèmes, ça a toujours fait deux).
Si c'est celle où on fait une projection radiale des faces du polyèdre sur une sphère puis qu'on utilise la fait que la surface d'un polygone sphérique vaut la somme des angles moins (n-2)*Pi (n= nb de cotés) alors il suffit clairement de supposer le polyèdre étoilé en un certain point pour que ça fonctionne.