Polyèdres et Graphes planaires par Von Staudt

[Archytas]

Salut à tous le mathématicien allemand Von Staudt a publié une démonstration très élégante de la formule d'Euler sur les polyèdres : S - A + F = 2. Malheureusement cette formule est fausse dans un cadre général (il faut plus d'hypothèses sur les polyèdres étudiés). Et dans le livre que j'ai a étudier il est dit que Von Staudt ajoute deux hypothèses sur les polyèdres étudiés qui rend la formule correcte.
(1)

Lorsqu'on peut joindre chaque sommet d'un polyèdre à tout autre par une ligne formée d'arête

(2)

et lorsque sa surface est partagée en deux par toute ligne fermée formée d'arêtes passant au plus une fois par le même sommet

Voilà les hypothèses "correctes" sur le théorème d'Euler. J'ai vu sur un autre livre une démonstration de ce théorème mais cette fois ci elle concernait les graphes planaires connexes. i.e. pour un graphe plan connexe on a S-A+F=2. C'est donc que sous ces hypothèses un polyèdre peut être transformée en un graphe plan connexe et c'est ça qui m’intéresserait de savoir ! Comment avec (1) et (2) on transforme un polyèdre en graphe planaire ?
Je pense que c'est pas compliqué parce que sur internet j'ai vu la réciproque (théorème de Steinitz) qui dit que les graphes planaires 3-sommets-connexes correspondent (isomorphiquement) au graphe d'un polyèdre.
Quelqu'un a une idée de la démo de ce que je recherche ? (1) et (2) => le polyèdre admet un graphe planaire ?

[Robot]

Comment est défini un polyèdre ?

[Archytas]

Comment est défini un polyèdre ?

Aïe aïe... bin j'ai vu une définition sur wikipédia assez immangeable avec des simplexes que j'ai franchement pas compris mais je pense que vu l'époque ils appelaient polyèdre une figure tridimensionnelle qui est un agencement " " " correct " " " de sommets d'arêtes et de faces... mais bon c'est vrai que tu mets le doigt où ça fait mal... je me suis aussi posé la question sans trouver de réponse rigoureuse que je puisse comprendre

[Robot]

Faute de définition claire de ce qu'est un polyèdre, difficile de raisonner !

En gros, ce que je comprends c'est que la deuxième propriété (avec la première) dit que la surface du polyèdre est (homéomorphe à) une sphère. Une sphère, tu la perces et tu l'aplatis sur un plan : les sommets et les arêtes du polyèdre donnent alors un graphe planaire connexe.

[Archytas]

Faute de définition claire de ce qu'est un polyèdre, difficile de raisonner !

En gros, ce que je comprends c'est que la deuxième propriété (avec la première) dit que la surface du polyèdre est (homéomorphe à) une sphère. Une sphère, tu la perces et tu l'aplatis sur un plan : les sommets et les arêtes du polyèdre donnent alors un graphe planaire connexe.

Le problème est aussi que non parce par exemple tu prends un cube, et tu le traverse par une colonne ça donne un polyèdre homéomorphe à un tore... en l’occurrence la formule d'Euler n'est plus valable (en fait Lhuilier a considéré ce cas et a montré qu'on a S-A+F=2(n-1) avec n le nombre de "trous" donc ici si on compte on a S-A+F=0) et on observe qu'effectivement c'est un cas exclu par la deuxième condition de von Staudt puisqu'en supprimant le chemin formé du carré supérieur à notre polyèdre cubique on obtient non pas deux parties mais toujours une et j'imagine donc que ce polyèdre n'admet pas de représentation en graphe planaire...
Et la représentation sphérique donne une démonstration très simple de la formule mais il faut supposer la convexité du polyèdre pour le projeter sur la sphère ! Si on ne projette pas, même si je le vois, je ne sais pas comment démontrer qu'un polyèdre "sans trou" comme le cube précédent, est homéomorphe à la sphère :/...

[Robot]

Je ne vois pas en quoi ce que tu racontes sur le tore contredit ce que j'ai écrit. Peux-tu expliquer ? Je ne comprends pas ton "Le problème est aussi que non".
Par ailleurs, il n'y a pas besoin de convexité pour que le polyèdre soit homéomorphe à une sphère. Et quand on enlève un point à une sphère, on obtient (à homéomorphisme près) un plan.
Le fait que les deux conditions imposées entraînent que la surface du polyèdre est une sphère ressort de la classification des surfaces topologiques compactes. Mais pour en être sûr à 100% il faudrait savoir ce qu'est exactement un polyèdre ...

[Archytas]

Je ne vois pas en quoi ce que tu racontes sur le tore contredit ce que j'ai écrit. Peux-tu expliquer ? Je ne comprends pas ton "Le problème est aussi que non".
Par ailleurs, il n'y a pas besoin de convexité pour que le polyèdre soit homéomorphe à une sphère. Et quand on enlève un point à une sphère, on obtient (à homéomorphisme près) un plan.
Le fait que les deux conditions imposées entraînent que la surface du polyèdre est une sphère ressort de la classification des surfaces topologiques compactes. Mais pour en être sûr à 100% il faudrait savoir ce qu'est exactement un polyèdre ...

En fait, tu as répondu à ma question :lol5: ! La projection stéréographique donne exactement le passage au graphe plan connexe désiré : polyèdre -> (homéomorphisme f) sphère -> (projection p) plan
Et p(f) donne le graphe qu'on veut. Et donc comme la propriété est démontrée pour les graphe plan connexe c'est bon pour tous les polyèdres pour peu qu'ils soient homéomorphes à la sphère.
Et c'est pour ça que j'ai dit que non tous les polyèdres ne sont pas homéomorphes à la sphère ! Un polyèdre avec un trou est homéomorphe à un tore donc pas à la sphère (il me semble pas que la sphère et le tore soient isomorphes, si ?). On s'imagine un tore mais carré pour voir le polyèdre en question et si compte S, A et F on obtient S =16, F = 16, A = 32 donc S - A + F =0. Avec un tore "triangulaire" ça donne S = 12, F = 12 et A = 24 donc on a encore 0.
Pour la définition du polyèdre on va prendre celle ci : [url=wiki]https://fr.wikipedia.org/wiki/Poly%C3%A8dre[/url] mais ce que je comprends pas c'est qu'il est dit que c'est une union de simplexes de dimension 0, 1, 2, 3 (dans le cas qui nous intéresse de la dimension 3) mais par exemple pour, avec cette définition, avoir un cube il faudrait prendre l'union de 5 3-simplexes (pour le cube plein) ou de 12 2-simplexes pour la surface du cube. Mais ils disent que chaque face d'un simplexe doit être un élément de P donc on doit forcément avoir des diagonales à notre cube...
A moins que par "simplexe" ils entendant "homéomorphe à un simplexe" auquel cas on peut voir notre cube comme union de carrés (2-simplexe à homeo près), d'arêtes (1-simplexe ... ) et sommet (0-simplexe) et là j'y comprends quelque chose. Donc ils considèrent sans le dire des simplexes à homéomorphisme près ?

[Robot]

La définition de polyèdre dans la page wikipedia ne me satisfait pas du tout.

[Archytas]

La définition de polyèdre dans la page wikipedia ne me satisfait pas du tout.

Bin si on remplace "simplexe" par "simplexe à homéomorphisme" près ça te va pas ? Mais c'est vrai que ça donne un truc vachement trop général je trouve... on considère aussi comme polyèdre des figures semi pleines ou des carrés traversés de part en part par une diagonale etc... c'est un peu "trop" pour ce que je veux moi je pense...
Tu as une meilleure définition ? Je tourne en rond j'arrive pas à en trouver :/

[Archytas]

Dîtes moi si ça semble convenable :
"On considère comme polyèdre toute union finie de simplexes (à homéo près) telle que chaque face soit dans l'union et telle que chaque face soit une face d'un 2-simplexe (encore à isomorphisme près)"
Ce qui veut bien dire qu'on considère une surface bien agencée et ça enlève le problème des "triangles partout".
Je prétends pas que cette définition est correcte et encore moins que c'est la bonne puisque je l'ait pondu à l'instant en m'inspirant très lourdement de celle qui vous convient pas :ptdr:

[Robot]

J'en ai une (réalisation géométrique d'un complexe simplicial fini), mais qui ne convient pas à ce contexte de la formule d'Euler.
Le cadre qui me semble raisonnable pour parler de la formule d'Euler me semble celui des polyèdres convexes compacts. Ou alors, pour plus de généralité, on parle de graphe connexe dessiné sur une surface topologique.

[Pseuda]

Salut à tous le mathématicien allemand Von Staudt a publié une démonstration très élégante de la formule d'Euler sur les polyèdres : S - A + F = 2. Malheureusement cette formule est fausse dans un cadre général (il faut plus d'hypothèses sur les polyèdres étudiés). Et dans le livre que j'ai a étudier il est dit que Von Staudt ajoute deux hypothèses sur les polyèdres étudiés qui rend la formule correcte.
(1)
(2)

Voilà les hypothèses "correctes" sur le théorème d'Euler. J'ai vu sur un autre livre une démonstration de ce théorème mais cette fois ci elle concernait les graphes planaires connexes. i.e. pour un graphe plan connexe on a S-A+F=2. C'est donc que sous ces hypothèses un polyèdre peut être transformée en un graphe plan connexe et c'est ça qui m’intéresserait de savoir ! Comment avec (1) et (2) on transforme un polyèdre en graphe planaire ?
Je pense que c'est pas compliqué parce que sur internet j'ai vu la réciproque (théorème de Steinitz) qui dit que les graphes planaires 3-sommets-connexes correspondent (isomorphiquement) au graphe d'un polyèdre.
Quelqu'un a une idée de la démo de ce que je recherche ? (1) et (2) => le polyèdre admet un graphe planaire ?

Je me suis posée aussi la question en étudiant les graphes. La démonstration du théorème d'Euler se fait par récurrence. Pour démontrer qu'un polyèdre admet un graphe planaire, c'est assez évident pour les pyramides et pour les primes. Pour un solide quelconque, c'est peut-être assez naïf, il ne suffit pas d'"élargir" une des faces, de la poser sur un plan, et d'"aplatir" les autres faces à l'intérieur de la 1ère face, sur le plan ?

[Robot]

La manip que tu décris est celle que j'indiquais plus haut, qui marche bien pour un polyèdre convexe ou plus généralement pour un polyèdre homéomorphe à une sphère.

Pour un polyèdre homéomorphe à un tore, par exemple, ça ne va plus ! Et la formule d'Euler telle quelle ne marche plus pour une surface quelconque : il faut remplacer le 2 de la formule d'Euler (caractéristique d'Euler de la sphère) par la caractéristique d'Euler de la surface (0 pour le tore, par exemple).

[Pseuda]

La manip que tu décris est celle que j'indiquais plus haut, qui marche bien pour un polyèdre convexe ou plus généralement pour un polyèdre homéomorphe à une sphère.

Pour un polyèdre homéomorphe à un tore, par exemple, ça ne va plus ! Et la formule d'Euler telle quelle ne marche plus pour une surface quelconque : il faut remplacer le 2 de la formule d'Euler (caractéristique d'Euler de la sphère) par la caractéristique d'Euler de la surface (0 pour le tore, par exemple).

Ah oui, je n'avais envisagé que les polyèdres convexes, ou même concaves (il peut se "déplier" ?), mais sans trou au milieu ! Mais dans ce cas, la formule d'Euler ne marche plus, ou tout au moins, on ne peut plus transformer le polyèdre en graphe planaire ?

[Robot]

C'est quoi, un polyèdre concave ?
J'ai déjà écrit ce qu'il en était pour le tore.

[Archytas]

Ah oui, je n'avais envisagé que les polyèdres convexes, ou même concaves (il peut se "déplier" ?), mais sans trou au milieu ! Mais dans ce cas, la formule d'Euler ne marche plus, ou tout au moins, on ne peut plus transformer le polyèdre en graphe planaire ?

En fait si c'est ça qui rend les choses complexes... le truc est de décrire tous les polyèdres qui peuvent justement se "projeter" en graphe planaire et d'après notre cher ami Von Staudt il s'agit des polyèdres qui vérifient (1) et (2). Lhuilier avait donné trois sortes d’exceptions avant Von Staudt et donné les formules suivant le nombre de "cavités", de "trous" et de "collages" (les trois exceptions). Il s'avèrent que les conditions (1) et (2) dégomment les trois exceptions ! C'est super intéressant ces conneries !! :id:

[Robot]

Les difficultés dans la mise au point de ce résultat (voir le bouquin de Lakatos "Proofs and refutations") ont été résolues par les progrès de la topologie.

[Archytas]

En réalité je comprends pas vraiment la troisième sorte d'exception... La première est la cavité (un cube dans un cube quoi et on a immédiatement S - A + F = 2.(n+1) avec n le nombre de cavités), la deuxième est le trou (faut imaginer qu'on a un polyèdre qui ressemble à un tore, à un huit etc... et on a S - A + F = -2(n-1) avec n le nombre de trous) et finalement Gergonne écrit quant au mémoire de Lhuilier.

Cette troisième sorte d'exception a lieu, lorsque quelques-unes des faces du polyèdre sont des polygones compris dans l'exception qui a été développée plus haut (la deuxième) ; comme par exemple, l'une des faces est une couronne polygonale ; ainsi qu'il arrive lorsque le polyèdre résulte de l'union de deux autres polyèdres par deux faces inégales, dont la plus petite se trouve entièrement comprise dans la plus grande.

Dans ce cas la formule devient S - A + F = n+2 dans le cas où

une face du polyèdre est comprise entre n polygones extérieurs les uns aux autres, et un polyèdre qui les renferme tous.

Vous comprenez ?

[Archytas]

Les difficultés dans la mise au point de ce résultat (voir le bouquin de Lakatos "Proofs and refutations") ont été résolues par les progrès de la topologie.

Il a l'air top ton bouquin, je sauvegarde et je le lis quand je peux ! Sympa le style sous forme de conversation ! Original ! :id:

[Robot]

Je suppose que c'est
"une face du polyèdre est comprise entre n polygones extérieurs les uns aux autres, et un polygone qui les renferme tous. "
ce que je comprends comme "une face du polyèdres est homéomorphe à un disque à n trous" (au lieu d'être homéomorphe à un disque).