Point de branchement et continuation analytique

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Azenora
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Point de branchement et continuation analytique

par Azenora » 21 Avr 2021, 12:54

Bonjour,

Je viens à vous afin d'être éclairée sur les points de branchement et la continuation analytique. Je suis clairement perdue de comment les déterminer, les trouver.

Par exemple, une de mes questions est : Explorer le comportement en z = z0 et préciser le type de point singulier s'il y en a de f(z)= (2z +3)/(1 + z + 2z^{1/2}), z0 = 1.

Une autre d'entre elles est :
Pour la courbe donnée γ on fixe la branche régulière dans le domaine C \ γ de f (z) = ln z par f (1) = 0. Pour cette branche, trouvez la valeur de sa continuation analytique f (−3) =?

PS : Je suis étudiante dans une université étrangère, mes cours sont donc en anglais. Par conséquent je ne sais pas si mes traductions sont parfaites. Dans mon cours on parle de : "Branch point" et " analytic continuation"



GaBuZoMeu
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Re: Point de branchement et continuation analytique

par GaBuZoMeu » 21 Avr 2021, 13:11

Bonjour,

On perle aussi de points de ramification et de prolongement analytique.

Ta première question est un peu bizarre. Ta fonction a deux branches, avec point de ramification en l'origine. Une des branches a un pôle en 1, l'autre y vaut 5/4.

Quant à la deuxième question, tu as oublié de dire qui est .

Azenora
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Re: Point de branchement et continuation analytique

par Azenora » 22 Avr 2021, 16:38

Ma courbe est un spirale partant de zéro en 1 elle vaut -0.5 en 1,5 elle vaut 0, puis elle repasse en zero elle vaut 1, en -1.5 elle vaut 0, en 0 elle vaut -1.5 en 2.5 0 etc, elle ne passe pas par -3 directement. (PS : je ne sais pas si c'est possible de joindre un photo, j'ai essayé mais j'y arrive pas désolée)

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Re: Point de branchement et continuation analytique

par GaBuZoMeu » 22 Avr 2021, 18:57

Je ne m'y retrouve pas avec ta description. Tu peux joindre une image. Le mode d'emploi est ici
https://www.maths-forum.com/guide-utilisation-f41/comment-inserer-une-image-t215647.html#p1404661 :

Azenora
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Re: Point de branchement et continuation analytique

par Azenora » 23 Avr 2021, 12:57

<a href='https://www.casimages.com/i/210423120745866481.png.html' target='_blank' title='Mon image'><img src='https://nsa40.casimages.com/img/2021/04/23/210423120745866481.png' border='0' alt='Mon image' /></a>

Je crois que c'est ça

Azenora
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Re: Point de branchement et continuation analytique

par Azenora » 23 Avr 2021, 12:58

Ou celui ci après essaye fonctionne bien : https://www.casimages.com/i/210423120745866481.png.html

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Re: Point de branchement et continuation analytique

par GaBuZoMeu » 23 Avr 2021, 13:13

En suivant le mode d'emploi, c'est mieux !

Image

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Re: Point de branchement et continuation analytique

par GaBuZoMeu » 23 Avr 2021, 13:20

On part de la détermination de la racine carrée fixée par dans le complémentaire de la courbe bleue. En suivant par prolongement, quelle détermination de la racine carrée a-t-on pour -1, 2, -2, 3, -3 ?

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Re: Point de branchement et continuation analytique

par Azenora » 23 Avr 2021, 13:22

Désolée je ne suis pas très à l'aise avec l'informatique. Cependant maintenant avez vous une idée de comment proceder vis à vis de ma question ?

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Re: Point de branchement et continuation analytique

par Azenora » 23 Avr 2021, 13:43

Par ailleurs pour la ma première question je vois pourquoi 1 est une point singulier mais pas 5/4. En effet j'ai procédé comme suit :
Tout d'abord nous pouvons voir que les seul points de branchement de ma fonction sont 0 et l'infini. 1 n'est donc pas un point de branchement il existe donc deux branche en ce point. On pose la première branche : \sqrt{1} = 1 et le deuxième : sqrt{1} = -1. Maintenant on pose w = z - 1, on a donc :
-f(z) = f(w + 1) = (2w+5)/(2 + w - 2\sqrt{w+1}) pour la branche deux. Nous pouvons facilement voir qu'il y a un point singulier : w = 0, donc z = 1, donc 1 est un point singulier, de plus lim(z ->1) f(z) = infini donc 1 est un pole.
- f(z) = f(w+1) = (2w+5)/(2 + w + 2\sqrt{w+1}) pour la première branche, elle n'a pas de point singulier comme nous pouvons le voir car le dénominateur ne s'annule jamais.

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Re: Point de branchement et continuation analytique

par Azenora » 23 Avr 2021, 13:50

GaBuZoMeu a écrit:On part de la détermination de la racine carrée fixée par dans le complémentaire de la courbe bleue. En suivant par prolongement, quelle détermination de la racine carrée a-t-on pour -1, 2, -2, 3, -3 ?

On ne pose pas plutôt : ln(z) = ln|z| + iarg(z), et on s'intéresse à la valeur de son argument ? Tout en sachant donc que ln(1) = 0. Par rapport à la courbe j'aurais donc dit que en ln(-1) = ln(1) - i \pi, ln(-2) = ln2 -2\pi ? (mais clairement pas sur j'essaye d'utiliser ce que j'ai vu dans mes cours mais que je suis pas sur d'avoir comprise)

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Re: Point de branchement et continuation analytique

par GaBuZoMeu » 23 Avr 2021, 15:50

1°) Vrai, tu ne vois pas pourquoi la deuxième branche prend la valeur 5/4 en 1 ??? Regarde mieux !

2°) Ce qui nous intéresse ici est la fonction "racine carrée" ; la détermination de cette fonction change de signe quand on fait un tour autour de l'origine.

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Re: Point de branchement et continuation analytique

par Azenora » 24 Avr 2021, 10:31

GaBuZoMeu a écrit:1°) Vrai, tu ne vois pas pourquoi la deuxième branche prend la valeur 5/4 en 1 ??? Regarde mieux !

2°) Ce qui nous intéresse ici est la fonction "racine carrée" ; la détermination de cette fonction change de signe quand on fait un tour autour de l'origine.


1) Je suis d'accord qu'en 1 la deuxième branche prend la valeur 5/4, mais ce n'est pas un point singulier pour autant ?

2) je crois avoir compris cette question merci

GaBuZoMeu
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Re: Point de branchement et continuation analytique

par GaBuZoMeu » 24 Avr 2021, 10:40

Azenora a écrit:1) Je suis d'accord qu'en 1 la deuxième branche prend la valeur 5/4, mais ce n'est pas un point singulier pour autant ?

Qui t'a dit que c'était un point singulier pour la deuxième branche ??? Tu lis de travers.

 

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