bonsoir ,
j'ai un peu de mal à comprendre ce que c'est un point adhérent.
est-ce que qq1 peut m'éclairer en me donnant un exemple bien évident!
merci bcp et à la prochaine
Point adhérent
16 messages
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par uztop » 10 Fév 2009, 19:33
Bonjour,
c'est un point donc une suite s'approche une infinite de fois (sans forcement l'atteindre, comme pour une limite)
Par exemple, la suite^n)
a deux valeurs d'adherence: -1 et 1
c'est un point donc une suite s'approche une infinite de fois (sans forcement l'atteindre, comme pour une limite)
Par exemple, la suite
par Nightmare » 10 Fév 2009, 19:40
Bonsoir,
un point adhérent à une partie est grossièrement un point qui est soit dans la partie, soit à la limite de cette partie. En terme topologique, un point est adhérent lorsque si tu prends une boule centrée en ce point, elle va croiser au moins une fois la partie. En terme séquentiel, un point est adhérent lorsqu'on peut trouver une suite d'élément de la partie qui va converger vers ce point. L'ensemble des points adhérents c'est ce qu'on appelle l'adhérence de la partie.
Par exemple on prend le disque unité ouvert (auquel on retire le bord, ie le cercle unité). Son adhérence, c'est le disque unité fermé, c'est à dire le disque unité ouvert auquel on a rajouté le bord. En effet on voit bien que si on prend un point sur le cercle unité et qu'on dessine une boule (ici, un disque) centré en ce point, elle va forcément croiser le disque.
Cet exemple est visuel, d'autres le sont moins mais tout aussi connu. On prend par exemple l'ensemble des fonctions polynomes sur un segment [a,b]. Le théorème de Weierstrass nous dit que son adhérence est l'ensemble des fonctions continues (pour la topologie de la norme de convergence uniforme), ce qui se traduit par : " Toute fonction continue sur un segment [a,b] est limite uniforme de fonctions polynomes sur [a,b]".
Tu vois d'après ma remarque entre parenthèse que l'adhérence dans le cas d'un espace métrique dépend de la distance qu'on choisit.
Voir si tu as compris, peux-tu me dire dans R quelle est l'adhérence de l'ensemble des rationnels (pour la distance usuelle)?
:happy3:
un point adhérent à une partie est grossièrement un point qui est soit dans la partie, soit à la limite de cette partie. En terme topologique, un point est adhérent lorsque si tu prends une boule centrée en ce point, elle va croiser au moins une fois la partie. En terme séquentiel, un point est adhérent lorsqu'on peut trouver une suite d'élément de la partie qui va converger vers ce point. L'ensemble des points adhérents c'est ce qu'on appelle l'adhérence de la partie.
Par exemple on prend le disque unité ouvert (auquel on retire le bord, ie le cercle unité). Son adhérence, c'est le disque unité fermé, c'est à dire le disque unité ouvert auquel on a rajouté le bord. En effet on voit bien que si on prend un point sur le cercle unité et qu'on dessine une boule (ici, un disque) centré en ce point, elle va forcément croiser le disque.
Cet exemple est visuel, d'autres le sont moins mais tout aussi connu. On prend par exemple l'ensemble des fonctions polynomes sur un segment [a,b]. Le théorème de Weierstrass nous dit que son adhérence est l'ensemble des fonctions continues (pour la topologie de la norme de convergence uniforme), ce qui se traduit par : " Toute fonction continue sur un segment [a,b] est limite uniforme de fonctions polynomes sur [a,b]".
Tu vois d'après ma remarque entre parenthèse que l'adhérence dans le cas d'un espace métrique dépend de la distance qu'on choisit.
Voir si tu as compris, peux-tu me dire dans R quelle est l'adhérence de l'ensemble des rationnels (pour la distance usuelle)?
:happy3:
par Joker62 » 10 Fév 2009, 20:11
Le fait qu'on puisse approcher un point adhérent par une suite est exclusivement réservé aux cas des espaces topologiques métrisables.
Bon je dis ça même si c'est pas très utile mais quand même :p
Bon je dis ça même si c'est pas très utile mais quand même :p
par nuage » 10 Fév 2009, 20:39
Joker62 a écrit:Le fait qu'on puisse approcher un point adhérent par une suite est exclusivement réservé aux cas des espaces topologiques métrisables.
Bon je dis ça même si c'est pas très utile mais quand même :p
Je ne crois pas.
Dire que
Avec l'axiome de choix dénombrable il y a bien une suite dans
par Joker62 » 10 Fév 2009, 21:01
Hummmm :^)
Pourtant j'ai un BIG Attention dans mon cours de topo sur le fait que c'était devenu faux dans le cas des espaces topo non métrisable :^)
En fait dans le cours j'ai :
(an) une suite qui tend vers a alors a est un point adhérent
Mais la réciproque est fausse...
Bon dans les espaces métriques et les espaces à base de voisinages dénombrables, on est d'accord que la réciproque est vraie mais dans le cas non métrisable ? :^)
Pourtant j'ai un BIG Attention dans mon cours de topo sur le fait que c'était devenu faux dans le cas des espaces topo non métrisable :^)
En fait dans le cours j'ai :
(an) une suite qui tend vers a alors a est un point adhérent
Mais la réciproque est fausse...
Bon dans les espaces métriques et les espaces à base de voisinages dénombrables, on est d'accord que la réciproque est vraie mais dans le cas non métrisable ? :^)
par nuage » 10 Fév 2009, 21:52
La réciproque est un autre problème.
je me permet de te citer :
Il n'est ici pas question de réciproque.
je me permet de te citer :
Le fait qu'on puisse approcher un point adhérent par une suite est exclusivement réservé aux cas des espaces topologiques métrisables.
Il n'est ici pas question de réciproque.
par Joker62 » 10 Fév 2009, 21:57
Le fait que tu cites correspond bien à la réciproque de ma proposition non ?
a dans l 'adhérence n'implique pas l'existence d'une suite...
D'où mon commentaire par rapport à :
Mais bon ça dépend du niveau. Généralement on reste dans le métrique avec les suites.
a dans l 'adhérence n'implique pas l'existence d'une suite...
D'où mon commentaire par rapport à :
Jord a écrit:En terme séquentiel, un point est adhérent lorsqu'on peut trouver une suite d'élément de la partie qui va converger vers ce point.
Mais bon ça dépend du niveau. Généralement on reste dans le métrique avec les suites.
par dim20 » 10 Fév 2009, 22:00
pour répondre à la question de Nightmare :
si j'ai bien compris l'adhérence de l'ensemble des rationnels c'est l'ensemble des réels donc c'est l'ensemble tout entier (car on est dans R)
je dirais que c'est presque la même chose que le disque! :id:
merci bcp ça m'a trop aidé!
si j'ai bien compris l'adhérence de l'ensemble des rationnels c'est l'ensemble des réels donc c'est l'ensemble tout entier (car on est dans R)
je dirais que c'est presque la même chose que le disque! :id:
merci bcp ça m'a trop aidé!
par nuage » 10 Fév 2009, 22:01
Tu as raison et j'ai tort :--: :--: sur la réciproque.
On ne peut pas parler de limite si l'espace n'est pas métrisable.
On ne peut pas parler de limite si l'espace n'est pas métrisable.
par ThSQ » 10 Fév 2009, 22:38
Ben si on peut très bien parler de limite de suites (voire de limites si l'espace n'est pas séparé) hors d'un métrique.
Un contrex qui je pense marche sur un point adhérent qui n'est pas limite de points de l'ensemble : on met la topologie cofinie sur un ensemble infinie E (fermés = vide, E, parties finies). L'adhérence de n'importe quelle partie finie A est E tout entier mais aucun point hors de A n'est limite de points de A.
Un contrex qui je pense marche sur un point adhérent qui n'est pas limite de points de l'ensemble : on met la topologie cofinie sur un ensemble infinie E (fermés = vide, E, parties finies). L'adhérence de n'importe quelle partie finie A est E tout entier mais aucun point hors de A n'est limite de points de A.
par nuage » 10 Fév 2009, 22:48
ThSQ a écrit:Ben si on peut très bien parler de limite de suites (voire de limites si l'espace n'est pas séparé) hors d'un métrique.[...]
Le problème est dans le s
par ThSQ » 10 Fév 2009, 22:50
Oui, y'a pas forcément unicité de la limite. Bon. Et puis ?
(et les espaces séparés non métriques ça existent aussi !)
Edit : Ah ? Disparition de la réponse de nuage !
(et les espaces séparés non métriques ça existent aussi !)
Edit : Ah ? Disparition de la réponse de nuage !
par Nightmare » 11 Fév 2009, 00:04
Dim20 > C'est bon !
Plus généralement, que dire de l'adhérence d'un ensemble dans un espace dans lequel il est dense?
Plus généralement, que dire de l'adhérence d'un ensemble dans un espace dans lequel il est dense?
par dim20 » 12 Fév 2009, 12:13
D'après moi on dirait que l'adhérence de l'ensemble c'est l'espace tout entier qui le contient.
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