Pivot de Gauss

[beagle]

ben le choix des lignes et des facteurs ne se fait pas en force brute,
il faut que l'ordinateur soit programmé à faire les meilleurs choix...en regardant attentivement le système!

[Dlzlogic]

ben le choix des lignes et des facteurs ne se fait pas en force brute,
il faut que l'ordinateur soit programmé à faire les meilleurs choix...en regardant attentivement le système!

Oui, c'est vrai, mais c'est assez facile de choisir, on ordonne les lignes suivant le facteur de l'inconnue du rang concerné, ça c'est tout de même assez simple à apprendre à faire à une machine.
Quand un humain regarde un système, il va repérer les soustractions de ligne intéressantes, les multiplications astucieuses etc. Et en tout cas, il ne va certainement pousser systématiquement le calcul jusqu'à avoir la valeur directe de la dernière inconnue, on peut espérer qu'il va agir intelligemment, mais il parait évident que c'était pas le but de l'exercice.

[leon1789]

Bonjour léon,
"doit regarder attentivement le système à résoudre avant de se lancer dans la méthode du pivot de Gauss "

oui, j'ai vu on peut choisir d'inverser les lignes etc...


par contre doit-on avoir dans l'ordre z puis remonter à y puis finir par x,

ou bien le système peut "finir = débuter par" x, puis donnera z et ensuite seulement on aura y.

ou bien c'est un crime = pas du 100% pivot?

Pour résoudre un système linéaire, on peut effectivement échanger les lignes, et pourquoi pas les inconnues en effet.

Le fameux "100% Gauss" , je crois que c'est simplement une expression de Jjl (ou de son prof). Il y a toute une panoplie de "stratégies gaussiennes" possibles, tout dépend ce que l'on vise (résolution d'un système, échelonnement d'une matrice, calcul de déterminant, ...).

Pour moi, le pivot de Gauss consiste à échelonner une famille de vecteurs d'un espace vectoriel, en utilisant des combinaisons linéaires des éléments faisant apparaître des 0 sur les coordonnées.
On applique cela à un système linéaire, une matrice, des polynômes, etc.

[leon1789]

Le choix du pivot est un choix automatique, c'est à dire qu'il ne demande pas d'astuce, ni d'entrainement.

Pas besoin d'astuce, ni d'entrainement : en théorie oui, mais en pratique c'est malheureusement nécessaire (je dis ça à tous les élèves qui lisent cette discussion :lol3: )

Il me parait assez évident que quand on demande à une machine de résoudre un système, on a tout prévu, justement parce que la machine ne sait pas "regarder attentivement le système à résoudre".

Je ne sais ce que signifie "tout prévoir", mais je sais qu'une machine peut faire beaucoup de choses, y compris analyser (suivant certains critères plus ou moins sophistiqués) un système à résoudre : il suffit de la programmer pour !

J'ai résolu un nombre considérable de systèmes linéaires. En fait, c'est ma machine qui les résout, étant donné que c'est une opération complètement transparente pour résoudre certains problèmes, comment pourrait-on "regarder attentivement le système" ?

La méthode du pivot de Gauss ne donne pas un cheminement unique : tous ceux qui ont résolu à la main des systèmes linéaires le savent. Tous ces chemins, qui mènent à Rome en théorie, ne passent pas par les mêmes montagnes et déserts.

Un programme qui agit sans aucune analyse des coefficients (une analyse qui soit un peu plus qu'un test à 0) est très probablement instable. Faut-il encore le voir pour en être convaincu.

[leon1789]

2x+3y+5z=4(L1)
x+y+z=1(L2)
x+3y+4z=2(L3)

Ensuite L1L3(L1 devient L3)

Moi j'aurais mis L2 en premier

oui, moi aussi, mais Jjl ne l'a pas fait : preuve que le cheminement n'est pas unique...

[Dlzlogic]

@ Léon,

Un programme qui agit sans aucune analyse des coefficients (une analyse qui soit un peu plus qu'un test à 0) est très probablement instable. Faut-il encore le voir pour en être convaincu.

Autant être franc, tu veux voir ma fonction ou tu veux installer un doute ?
Qui t'a dit qu'il n'y avait aucune analyse des coefficients ?
D'ailleurs, en à parté, lorsqu'on utilise des flottants, un test à 0 conduit assez vite à une catastrophe. Il y a eu une discussion à ce propos.

[leon1789]

@ Léon,
Autant être franc, tu veux voir ma fonction ou tu veux installer un doute ?

je n'émets aucun doute, et je ne tiens pas à voir ta fonction.
Je voulais simplement dire que, en théorie, niveau bac+1, un simple test à 0 est suffisant pour mettre en action la méthode de Gauss. Mais en pratique (en machine ou à la main), c'est un peu plus compliqué.

Qui t'a dit qu'il n'y avait aucune analyse des coefficients ?

je ne sais pas, je lisais cela :

le calculateur ne regarde pas ce qui est le plus intéressant à faire, en fonction des paramètres.
(...)
Le choix du pivot est un choix automatique, c'est à dire qu'il ne demande pas d'astuce.

cela donne l'impression qu'il n'y a pas à réfléchir sur un bon choix de pivot, mais j'ai mal compris.

[Dlzlogic]

Il me parait bon de préciser un certain nombre de points
1- il faut savoir que dans l'environnement informatique si on travaille en flottant, la comparaison avec le signe égal (suivant les langages '=' ou '==') ne doit pas être utilisée. Ceci doit être soit sû soit compris, dès qu'on fait quelque-chose dans l'environnement informatique.
2- la résolution d'un système linéaire est une opération de base, dans le sens où ce n'est n'est pas un but, mais un moyen pour arriver au résultat cherché. Si on résout ce système à la main, il est bon de connaitre un certain nombre de méthodes et d'avoir de l'entrainement pour y parvenir rapidement et sans faute.
Si on a à résoudre un problème, que sa résolution passe par la résolution d'un système linéaire, si on le fait à la main, on a tout intérêt à savoir faire cette opération.
Dans un contexte de l'utilisation de l'informatique, c'est naturellement la machine qui résoudra le système, mais il est bon, voire indispensable de savoir ce qui se passe.
Enfin, dans l'hypothèse où on doit réaliser la fonction qui résout ce système il est indispensable de savoir exactement comment fonctionne la méthode, les tests à réaliser, les limites de précision etc.
A mon avis, l'exercice proposé dans ce topic concerne ce dernier point.

Pour parler de détails, il est indispensable de savoir pourquoi il y a un pivot, comment on le détermine, ce qu'on fait après etc. Il faut avoir compris parfaitement tous ces points pour pouvoir les expliquer à la machine, une fois pour toutes.