Pivot de gauss matrices

[hugomalbec]

Bonjour
Je dois montrer que le rang de Aa est égal à 3 pour tout a ∈ R / {−1/2}:
Aa=

(a+1) 0 a
(-a) 1 -a
a 0 (a+1)

J'aimerai échelonner la matrice en arrivant à une dernière ligne 0 0 2a+1 mais je n'y parviens pas, sauf si je manipule d'abord les colonnes de la matrice avant d'en échelonner les lignes cependant je ne sais pas si j'ai le droit. Ma question est donc la suivante : puis-je faire du pivot de Gauss d'abord sur les colonnes puis ensuite sur les lignes d'une matrice, si non, comment répondre à la question ? Merci de votre aide

[lyceen95]

1. Oui tu peux faire autant de manipulations que tu veux sur les lignes et/ou les colonnes.
2. As-tu envisagé une autre piste , qui pourrait être beaucoup plus rapide ?

Qu'est ce qui caractérise une matrice 3x3, de rang 3 ?

[hugomalbec]

1. Oui tu peux faire autant de manipulations que tu veux sur les lignes et/ou les colonnes.
2. As-tu envisagé une autre piste , qui pourrait être beaucoup plus rapide ?

Qu'est ce qui caractérise une matrice 3x3, de rang 3 ?

D'accord merci beaucoup, je n'ai pas eu d'autres pistes pour le moment.
Elle est inversible ?

[lyceen95]

Oui, une matrice nxn est de rang n, ssi elle est inversible.

Et comment caractérise-t-on une matrice inversible, sans lancer toute la mécanique de calculer son inverse ?
J'espère que le cours que j'ai appris quand j'étais étudiant (tu n'étais pas né) est encore enseigné !

[hugomalbec]

Oui, une matrice nxn est de rang n, ssi elle est inversible.

Et comment caractérise-t-on une matrice inversible, sans lancer toute la mécanique de calculer son inverse ?
J'espère que le cours que j'ai appris quand j'étais étudiant (tu n'étais pas né) est encore enseigné !

je pense que votre cours est toujours d'actualité mais j'avoue que je ne sais pas ... Peut-etre le fait que la famille formée par les colonnes est libre ?

[lyceen95]

La propriété que j'avais en mémoire est toujours vraie (je n'étais pas inquiet là dessus), mais est-elle toujours enseignée : Une matrice carrée est inversible ssi son déterminant est non nul.
Le point suivant, c'est : sait on calculer le déterminant d'une matrice 3x3.
Ici, le déterminant est assez facile à calculer, grâce aux valeurs 0 :

Et l'équation est facile à résoudre.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Les opérations élémentaires sur les lignes marchent très bien, par exemple en commençant pas soustraire la 3e ligne de la 1e.
Pas besoin de faire appel au déterminant.