Petite précision concernant la continuité

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

Je souhaiterais obtenir une petite précision concernant la continuité pour les fonctions réelles, ma question paraitra un peu bizarre (je vous prie de m'en excuser par avance) :

Soit D une partie de R
Soit une fonction de D dans R

Est-ce que je peux dire que f est continue si et seulement pour tout ouvert O de R, est ouvert ?

Ou bien c'est : f est continue si et seulement si pour tout ouvert O de f(R), est ouvert ?

Ou aucun des deux ?

Merci d'avance pour vos réponses

[Ben314]

en fait, c'est plutôt "aucun des deux".

Déja, que tu prenne un ouvert de R ou un ouvert de f(R), ça va absolument rien changer vu qu'à priori, la topologie que tu met sur f(R), c'est celle induite par R, donc une partie A de f(R) est ouverte ssi elle s'écrit où B est un ouvert de R.
Sauf que dans ce cas, donc ça change que dalle...

Par contre, là où ça change quelque chose, c'est de savoir si on demande à d'être un ouvert de R ou bien d'être un ouvert de D...

Faisons un essai : je considère la fonction racine carré de D=R+ dans R.
1) A ton avis, ça serait plutôt normal de dire qu'elle est continue ou pas ?
2) Si je prend l'ouvert de R, c'est quoi ?
3) C'est un ouvert de R ? un ouvert de D ?

[jonses]

Faisons un essai : je considère la fonction racine carré de D=R+ dans R.
1) A ton avis, ça serait plutôt normal de dire qu'elle est continue ou pas ?
2) Si je prend l'ouvert de R, c'est quoi ?
3) C'est un ouvert de R ? un ouvert de D ?

1)Oui

2)[0,1[ (mais j'ai quelques doutes...)

3)C'est pas ouvert de R ni de R+

[Ben314]

1)Oui
2)[0,1[ (mais j'ai quelques doutes...)
3)C'est pas ouvert de R ni de R+

1) O.K.
2) O.K. (en fait si tu as compris ma première remarque, vu que , vu que, de R+ dans R+, f est bijective croissante et de réciproque la fonction x->x².
3) [0,1[ n'est pas un ouvert de R : O.K. (car il contient 0 mais aucun intervalle quelque soit )
Par contre c'est un ouvert de car c'est l'intersection d'un ouvert de R (par exemple ]-7,1[ avec ).
En fait, dans l'espace métrique R_+, l'intervalle [0,1[, c'est la boule ouverte de centre 0 de rayon 1 (rappel de la définition d'une boule ouverte dans un espace métrique (E,d) ?),
(Et, toujours dans R+, c'est aussi la boule ouverte de centre 1/3 et de rayon 2/3 par exemple)

Et en conclusion, la fonction racine carré est (heureusement...) une fonction continue de R+ dans R et cela signifie que, pour tout ouvert A de R, est un ouvert de R+ (mais pas forcément un ouvert de R...)

[jonses]

rappel de la définition d'une boule ouverte dans un espace métrique (E,d) ,

Boule ouverte B de centre a (avec a dans E) et de rayon réel strictement positif:

En fait, dans l'espace métrique R_+, l'intervalle [0,1[, c'est la boule ouverte de centre 0 de rayon 1

Désolé, là j'ai un petit peu plus de mal à saisir (est-ce que c'est bien parce que une partie A de R+ est ouverte ssi elle s'écrit où B est un ouvert de R, si j'ai bien compris ce que tu m'as dit).

En fait, c'est bon j'ai compris, je fais que répéter ce que tu as dit, désolé

En tout cas merci beaucoup !

[Ben314]

En fait, il y a 2 façons (heureusement identiques) de définir la topologie sur une partie D d'un espace métrique E :
- Soit en "décrétant" que les ouvert de D sont les intersection avec D des ouverts de E (je sais pas si tu as fait de la topo. générale, c'est à dire avec des espaces non métriques, mais si oui, c'est à peu prés la seule fa de définir une topologie sur une partie de E)
Par exemple, je trouve que pour montrer que [0,1[ est un ouvert de R+, c'est ça le plus pratique.
- Soit en constatant que la distance qui permet de mesurer les distance entre éléments de E, ben elle permet en particulier de mesurer les distances entre éléments de D donc que l'on peut prendre comme structure topologique sur D celle induite par la distance (vue comme une application de DxD dans R+)
Dans ce cas, pour montrer qu'ine partie est ouverte, il faut montrer que c'est une réunion de boules ouvertes et pour [0,1[ c'est facile car, dans l'espace R+, si tu regarde ta définition, elle dit que la boue ouverte de centre 0 de rayon 1, c'est qui est bien égal à [0,1[

J'espère ne pas t'avoir trop mélangé les pinceaux en parlant de l'un... puis de l'autre... mais il est trés façile de voir que ces deux façon de mettre une topologie sur D sont bien identiques.

[jonses]

- Soit en "décrétant" que les ouvert de D sont les intersection avec D des ouverts de E (je sais pas si tu as fait de la topo. générale, c'est à dire avec des espaces non métriques, mais si oui, c'est à peu prés la seule fa de définir une topologie sur une partie de E)

Les seuls choses de topo générale que j'ai vues (juste vues, je n'ai eu pas l'occasion d'approfondir, ni de faire des exos dessus, parce que j'en trouvais pas à mon niveau), remontent déjà à un petit moment. Je me suis arrêté à la définition d'un espace topologique (en passant par espace métrique et fonction continue entre espace métrique, mais rien de plus) et c'était sous forme de vidéo, en anglais, durant la période où j'ai travaillé, donc j'ai pas pu tout assimilé.

J'espère ne pas t'avoir trop mélangé les pinceaux en parlant de l'un... puis de l'autre... mais il est trés façile de voir que ces deux façon de mettre une topologie sur D sont bien identiques.

Non pas du tout, il y a pas plus claire ! Merci beaucoup !

[Ben314]

Faire de la topo dans les espace métriques, c'est déjà pas mal du tout et ça suffit pour beaucoup d'applications.
Le seul moment où ça "manque" un peu (sur le plan théorique parce que dans la pratique on s'en fout un peu...), c'est lorsque l'on parle de convergence simple d'une suite de fonctions vers une fonction : dans le cas général cette notion de convergence ne peut pas se mesurer avec une distance.