Petite démonstration

[Engel10]

Bonsoir chers membres du forum. Vous allez bien j'espère .
Voici une démonstration que j'essaie de faire mais je n'arrive pas.
Soit A un ouvert de E et B une partie de E. (E,d) est un espace metrique.
Il est question de montrer que A∩B≠∅ ⇔ A∩B̅ ≠ ∅
où B̅ est l'adherence de B.
1 .Supposons que A∩B≠∅
on sait que B⊂B̅ donc A∩B ⊂ A∩B̅ . comme A∩B≠∅ cela implique que A∩B̅ ≠∅
c'est au niveau de la deuxieme inclusion que je rencontre des problemes.

Merci d'avance !

[pascal16]

principe d'une démo directe possible :
soit x dans A et Bbarre.
comme A ouvert, x a un voisinage, et dans ce voisinage, il y a forcément des éléments dans B car sinon x ne serait pas dans Bbarre (on peut utiliser une suite d'éléments de B convergent vers x et comme voisinage une boule ouverte autour de x, le rayon de la boule est imposé par le voisinage de x dans A, et la suite convergente va être à un moment à une distance de x inférieure au rayon de la boule)

[sofianmakhlouf]

Bonsoir
On se place dans IR avec la distance est la valeur absolue
tester avec A=[0,1] et B=]1,2[

[GaBuZoMeu]

@sofianmakhlouf : ton A n'est pas ouvert !

C'est le fait que A soit ouvert qui fait que ça marche bien..
(Rappel : x est dans l'adhérence de B si et seulement si tout ouvert contenant x a une intersection non vide avec B).

[sofianmakhlouf]

Merci GaBuZoMeu tu a raison je n'ai pas bien vu
Donc l’hypothèse A ouvert est importante pour cette équivalence

[LB2]

@GBZM Petite question j'ai un doute:

si B est une partie quelconque de E et A un ouvert de E
Peut on dire que A inter B est un ouvert de B ?
Ou doit on supposer que B est fermé dans E par exemple?

[Engel10]

principe d'une démo directe possible :
soit x dans A et Bbarre.
comme A ouvert, x a un voisinage, et dans ce voisinage, il y a forcément des éléments dans B car sinon x ne serait pas dans Bbarre

Je comprend ce que vous dites, mais la question est de savoir si le x qu'on a pris dans A inter Bbarre sera dans B.

[GaBuZoMeu]

si B est une partie quelconque de E et A un ouvert de E
Peut on dire que A inter B est un ouvert de B ?
Ou doit on supposer que B est fermé dans E par exemple?

C'est la définition de la topologie induite sur B, pour n'importe quelle partie B d'un espace topologique E.

[GaBuZoMeu]

mais la question est de savoir si le x qu'on a pris dans A inter Bbarre sera dans B.

Non, ce n'est pas la question, et il n'y a aucune raison pour que ce x soit dans B.
Mais réfléchis :
Que veut dire que x appartient à l'adhérence de B ?
Comment utiliser le fait que x appartient à A qui est ouvert ?

[sofianmakhlouf]

Engel10 tu as la réponse par pascal16 et commet'a dit GaBuZoMeu
Juste revoit dans le cours la définition d'un ouvert avec les boule
la caractérisation séquentielle de l'adhérant ( ou la définition)

[Engel10]

x ∈B̅ ⇔ ∀ r > 0, B(x,r) ∩ B ≠ ∅.
x ∈ A ⇔ ∃ ε > 0, B(x,ε) ⊂ A.
Il y'a des éléments du voisinage de x qui sont dans A et dans B.
Donc A∩B ≠ ∅
merci beaucoup.