Petit problème de dénombrement

[Elog]

Bonjour,

En fait je poste à propos d'un problème de probas/dénombrement que j'ai trouvé dans un livre de niveau L1. J'ai la correction mais je ne suis pas d'accord avec, c'est pour ça que j'aurais eu besoin de votre avis.

Voici l'énoncé du problème:
"Le code d'un immeuble est une liste de cinq symboles choisis parmi les chiffres de 1 à 8 et les lettres A, B, C et D. Un programme génère au hasard le code de l'immeuble. Quelle est la probabilité qu'il soit de la forme xBxxx et qu'il contienne au moins un chiffre (événement A)."

Alors déjà ce n'est pas précisé, mais je suppose que les symboles doivent être distincts du fait que dans la correction ils donnent c'est à dire le nombre d'arrangements (par définition: liste de 5 éléments distincts parmi 12). J'en déduis donc que les 5 symboles du code doivent être distincts sinon le cardinal de l'univers serait

Ensuite pour la résolution de l'exercice, ils posent A=B\C avec B: "Le code est de la forme xBxxx" et C: "Le code est de la forme xBxxx et n'est composé que de lettres"

Comme , ce qui me semble correct. Le problème pour moi vient après: ils calculent les cardinaux de B et C:
- ce qui parait correct
- et pour moi c'est la que je ne comprends pas car les symboles devant être distincts, on ne peut pas former un code de 5 symboles distincts avec seulement 4 symboles donc P(C) = 0

En fait l'événement "Le code est de la forme xBxxx et contient au moins un chiffre" revient pour moi à l'événement "Le code est de la forme xBxxx" du fait que si les symboles sont distincts il y aura forcément au moins un chiffre...

Au final, ils arrivent à une probabilité de 1453/11880 mais qui pour moi est inexacte...

Dites moi ce que vous en pensez, c'est très probable que ce soit moi qui fasse une erreur mais je ne vois pas ou...

Merci d'avance

[XENSECP]

Salut,

Et si tu essayes en partant du principe qu'il peut y avoir plusieurs fois le même symbole, ça te donne quoi ?

Sinon je suis d'accord bien sûr

[Elog]

Salut,

Dans ce cas:
-
-
-

Ce qui (d'après la calculette) donne 20/243 soit environ 8.23%

C'est correct?

Sinon je pense qu'on peut aussi décomposer le problème en l'union d'événement incompatible:
- A1: xBxxx et 1 chiffre
- A2: xBxxx et 2 chiffres
- A3: xBxxx et 3 chiffres
- A4: xBxxx et 4 chiffres

On a alors:





On additionne le tout et on divise par 12^{5} et ça doit donner le même résultat...