Petit exercice de dénombrement.

[Georges10]

Bonjour à tous. J'espère que vous allez bien.
OK voici un exercice que je traite mais je suis bloqué.

C'est l'exercice 2, Question 3.
Je veux determiner le cardinal de l'univers. Je ne sais pas pourquoi mais je trouve ça un peu complexe. j'apprecierai des indications de votre part.
Merci d'avance et bonne journée à vous !

[beagle]

le jeton 1 a trois choix possibles de case , le jeton 2 a trois choix possibles de cases , déjà 3x3 ...

[hdci]

Bonjour,

Pour la 3-a, le truc est de dire "on met tout sur 1 ou 2 cases", et d'être sûr de ne pas compter des choses en double.
Or "mettre tout sur 1 ou deux cases", c'est "mettre tout sur une case" ou "mettre tout sur deux cases sans en laisser une de libre" et ces deux cas sont bien disjoints.

D'où :

• étape 1, combien de possibilités pour mettre les 4 jetons sur une seule des 3 cases ?
• Puis étape 2, pour le cas "2 cases" : cela revient à dire "combien de possibilités pour le premier jeton", "pour le second" etc., mais ce faisant on compte également les cas où on a tout mis sur la même case : il faut donc retirer ces cas puisqu'on les a comptés à l'étape 1.
  Il n'y a plus qu'à compter le nombre de paires de 2 cases parmi 3.

Pour la 3-b : si chaque case contient au moins 1 jeton, cela signifie que une case en contient exactement 2 et les autres exactement 1. On peut voir les choses de la façon suivantes :

• on commence par dire que c'est le jeton n° 4 qui va être en doublette. Il s'agit donc de compter le nombre de possibilités de répartir 3 jetons (n° 1, 2 et 3) sur 3 cases, puis le nombre de possibilités pour ajouter le 4.
• Seconde étape, c'est le jeton n° 3 qu'on met en doublette. Mais attention, le cas (n° 3, n°4) est déjà comptabilisé dans la première étape : on procède comme dans la première étape, en prenant garde à ne pas mettre le jeton n° 3 dans la case comportant le n° 4
• Troisième étape : on fait comme à l'étape 2, mais c'est le jeton n° 2qu'on met en doublette.
• Quatrième étape : on fait de même en considérant que c'est le jeton n° 1 qu'on met en doublette (mais en réfléchissant bien...

On répartit les jetons 1, 2 et 3 sur chaque case, cela fait combien de possibilités ? En ajoutant le n° 4 sur l'une des 3 cases, cela fait aut total combien de possibilités

[chan79]

salut beagle
Pour la question (a) je distinguerais les cas suivants:
- exactement une case vide qui peut être la 1, la 2 ou la 3
- exactement deux cases vides qui peuvent (1 et 2), ou (1 et 3) ou (2 et 3)

Par exemple, si la seule case vide est la 1, il y a répartitions. On retranche 2 car il doit y avoir une seule case vide.
Pour la (b) une soustraction à faire

[hdci]

Remarque : on peut aller "plus vite", car la somme des deux cas 3-a et 3-b fait exactement le nombre de possibilités de répartir 4 jetons dans 3 cases.
Le fait de faire comme j'ai indiqué permet de "vérifier" qu'on ne s'est pas trompé !

[beagle]

Salut Chan79 et hdci,
euh encore une matinée brumeuse, j'ai commencé à m'égarer sur le dénombrement de ce que je voulais répondre,
j'ai lu le cardinal de l'univers, donc je croyais que c'était des probas et que georges10 ne voyait pas le dénominateur des cas totaux...

[chan79]

Le fait de faire comme j'ai indiqué permet de "vérifier" qu'on ne s'est pas trompé !

salut hdci
oui, c'est toujours bien d'arriver de deux façons au résultat