Petit point algèbre linéaire (bases)

[Ludo1be]

Bonjour,

Il y a un point que je n'ai pas trop bien compris lors de la résolution d 'un petit exercice...

Soit B={V1,V2,V3} une base d'un espace vectoriel V de dimension 3 et soit B'={V1-2V2,V1+V2-V3,V2+V3)


Simple question:
B' est-elle une base de V?

Ici, on me dit: il suffit de montrer que B' est libre car il est de dimension 3.


Le problème est que je ne comprend pas pourquoi le fait de simplement démontrer cela suffit.
En effet, une base est une partie libre et génératrice de V.
Egalement, pour que B' soit une base de V, elle doit forcément être de dimension 3 car B qui est une base de V l'est.
Je sais aussi qu'une base est une partie libre maximale et génératrice minimale.



Merci.

[adrien69]

Tout tient dans le "maximale" ici. Ta famille est libre et si tu rajoutes un quelconque vecteur elle devient liée puisque V est de dimension 3. Donc c'est une base.

[Ludo1be]

Je te remercie.
Bien ce qui me semblait aussi, c'est tout simple.

J'ai toujours cette tendance à aller chercher trop loin... :mur:

[Ludo1be]

Toujours dans le même genre, pour pas ouvrir un autre topic.

Question:
Dans R4, trouvez la dimension de l'espace vectoriel engendré par ces vecteurs:
V1
V2
V3
V4
V5

Ici, je peux déjà dire qu'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres et l'éliminer puisque nous sommes dans R4, ça c'est clair.
Cependant, est-ce que dès que je l'ai éliminé, je peux m'arrêter là et dire que c'est ma base car partie libre maximale?

Je me dis que le prof aurait bien pu mettre 3 vecteurs LI et 2 autres combinaison linéaire de ces 3 vecteurs non?


Merci.

[Sylviel]

Non tu ne peux certainement pas dire que c'est une base parce que tu en as retiré un vecteur...

Si tes 4 vecteurs restants sont libre alors l'ev généré sera de dimension 4 et tu auras une base, sinon il faut trouver un vecteur qui est une combinaison linéaire des 3 autres. Tu le retires et regarde si les trois restant sont libre...

[Ludo1be]

Ok merci!

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