Petit o minable!

[Anonyme]

bonjour et joyeux Noel.
j'ai une petite question débile à vous poser.
dans l'ecriture d'un développement limité , à quoi ça sert le petit terme négligeable à la fin de l'écriture , c'est à dire o(x²) par exemple.
je sais que o(x²) veut dire qu'il existe une fonction epsilon(x) qui tend vers zéro quand x tend vers zéro . MAIS PUISQUE x TEND VERS ZERO (lui même) a quoi ça sert alors cette minable fonction epsilon(x).???

[Fract83]

Hello, et joyeux Noel aussi !

Pour te repondre intuitivement, le petit o (ou la fonction epsilon) permet d'avoir une estimation de la "vitesse" a laquelle le terme negligeable tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Ainsi, il devient possible de comparer les developpements limites d'une meme fonction au voisinnage d'un meme point.

En effet, avec cette notation, on va alors pouvoir dire : tel developpement limite d'une fonction au voisinnage d'un point est "meilleur" que tel autre developpement limite de la meme fonction au voisinnage du meme point, parce que le terme negligeable du premier developpement limite tend "plus vite" vers 0 que le terme negligeable du second developpement limite.

Tu me suis ?

Cette classification des developpement limites est importante, car (toujours intuitivement) plus le terme negligeable d'un developpement limite d'une fonction au voisinnage d'un point tend vers 0 "vite", plus le developpement limite approche "correctement" la fonction au voisinnage de ce point, ce qui a des applications pratiques essentielles (par exemple en analyse numerique).

Bonne journee.

[moroccan]

Eh bien c'est question de précision mathématique. Quand on écrit f(x) = g(x), on doit bien avoir l'EGALITE! Il ne s'agit pas de dire : f(x) est à peu près égale à g(x)!
Et c'est pourquoi cet o(..)...

[Anonyme]

genial
merci infiniment factr83 pour votre explication.
malgré que nous n'avons pas encore etudié les develpement limité(j'ai pris un peu d'avance pendant ces jours de vacances), j'ai bien compris grace à toi.
merci encore

[Anonyme]

donc vous voulez dire que o(x^3) tensd vers zéro plus vite que o(x²). n'est ce pas???

[Fract83]

Re,

> "donc vous voulez dire que o(x^3) tensd vers zéro plus vite que o(x²). n'est ce pas???"

Exactement, tu as l'air d'avoir compris la notion... De meme, un o(x^20) tends vers 0 plus vite qu'un o(x²).

Si tu es un peu curieux de ces choses la, je t'invite a utiliser un tableur (ou ta calculatrice) afin de comparer numeriquement les vitesses de convergence vers 0 de differentes puissances de x. Pratiquement, tu dis a ton tableur de calculer x, x², x^3, x^10 (et d'autres puissances encore) pour des valeurs de x qui se rapprochent de plus en plus de 0. Tu verras alors la notion de petit o en action...

Par exemple, tu obtiendras :

Pour x = 0.1
------------
x = 0.1
x² = 0.01
x^3 = 0.001
x^10 = 0.0000000001

Pour x = 0.05
------------
x = 0.05
x² = 0.0025
x^3 = 0.000125
x^10 = 0.00000000000009765625

Et tu verras par exemple que pour x = 0.05, x^10 est deja tres proche de 0, alors que c'est loin d'etre le cas pour x² et pour x^3.

Bonne journee.

[Anonyme]

merci encore Factr83.
j'ai une autre question si ça ne vous dérange pas .
quelle la difference entre une fonction de class C infinie et une eutre de classe C n. mois je trouve que la classe Cn veut dire la meme chose que C infini. car si n parcourt N tout entier n tend vers l'infini d'oû la conclusion.
qu'est ce que vous en pensez??

[Anonyme]

j'ai posé cette question car pour calculer un DL par derivation terme à terme ils ont insisté sur le fait que f doit etre de classe C infini.

[Alpha]

Salut,

la définition d'une fonction C infini, c'est une fonction qui est Cn pour tout n dans N, voilà tout.

A+

[Alpha]

Et si tu veux pouvoir faire un DL à un ordre aussi grand que tu veux en utilisant la formule de Young, il faut que ta fonction soit C infini.
A+

[quinto]

a quoi ça sert alors cette minable fonction epsilon(x).???

Pourquoi minable?