Sur la notation de Landau "petit o"

[chombier]

Bonsoir,

J'ai travaillé une bonne partie de la soirée sur la notation de Landau. En effet elle m'est encore assez obscure. Je vais me limiter aux suites définies dans à valeurs dans . Dans le reste du post, , , ... serons des éléments de .

Mettons nous d'accord sur une définition :
si il existe une suite convergent vers zéro telle que à partir d'un certain rang.

Le genre d'expression qui me pose grand problème est .

Dans un poly intéressant, ils expliquent que si , mais on voit bien que cette convention est très vite dépassée, il faut quelque chose de plus fort.

Pour interpréter cette expression, j'ai un très fort besoin de changer la notation et d'écrire à la place de .
Cela me permet d'interpréter cette formule comme ceci :


En changeant encore un peu la notation, et en écrivant , où il est sous entendu que converge vers zéro et que la formule est vraie à partir d'un certain rang, cela donne ma version préférée :



et en étant complètement formel, et en notant  l'ensemble des suites convergent vers zéro,



Que pensez-vous de cette interprétation ? Cela reviens à considérer qu'une expression comportant trois "o(...)" est en fait une expression commençant par 4 "il existe"

[Skullkid]

Salut,

Oui, on fait des abus de langage quand on écrit des égalités avec les petits o et toutes les autres notations du même genre. C'est comme tu l'as écrit : il faut voir ça comme des appartenances et des inclusions. En fait si tu veux donner un sens à pris isolément, c'est "l'ensemble des suites négligeables devant ". À partir de là tu peux te convaincre sans trop de difficultés que les opérations usuelles se comportent comme on s'y attend et que du coup on peut écrire des choses comme à la place de , c'est-à-dire .

Mais c'est important de garder en tête que même si on écrit à la place de ou , les "égalités" qu'on écrit ne sont pas symétriques : le membre de droite continent moins d'information que le membre de gauche.

PS : avec la définition que tu utilises, tu n'as pas besoin de préciser "à partir d'un certain rang", il est déjà inclus dans le fait que ta suite tend vers 0.

[chombier]

Je pense qu'il est nécessaire de préciser "à partir d'un certain rang". Par exemple si et , on va poser , mais cette expression n'est définie qu'à partir du rang 1. Ce sera donc bien le couple qui instanciera le fait que u=o(v).

Par contre, comme tu me l'as fait remarquer, s'il y a des o() à gauche, ce n'est plus une appartenance mais une inclusion :

se comprendrait :


Je vais essayer d'expliciter o(v). Je vais noter l'ensemble des suites convergent vers 0 et l'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang (qu'on appelle aussi suite à support fini, et qu'on note parfois

Ainsi, deux suite sont égales à partie d'un certain rang si leur différence nulle à partir d'un certain rang, donc si .

Donc si et seulement si , autrement dit, , ou , soit enfin .

Où, si A et B sont des ensembles de suites, et

Finalement, comme est un sous-espace vectoriel de et un sous-espace vectoriel de ,

est un sous-espace vectoriel de

[Ben314]

Salut,
Je me rappelle plus à quelle époque on m'a introduit ces notations (de Landau), mais je suis à peu près sûr que c'était pas au Lycée (alors qu'à l'époque du bac C, vu ce qu'il y avait au programme, ça n'aurait pas du tout été délirant) et je suis même pas complètement certain qu'on m'en ait parlé en DEUG (aussi bien, je suis tombé sur un prof qui faisait les D.L. avec des x^n.epsilon(x) et pas des o(x^n)).
Bref, tout ça pour dire que j'ai sans doute vu ces notations assez tardivement et que... on peut pas dire que le bidule me soit apparu comme d'une "utilité effroyable" : le gain de temps à écrire o(g(x)) par rapport à g(x).epsilon(x) n'est franchement pas considérable et à part ce gain d'écriture, je vois vraiment pas ce qu'on gagne.
Et pédagogiquement parlant, le g(x).epsilon(x) me semble mieux vu que, par exemple, c'est plus simple de visualiser que le produit de g1(x).epsilon(x) par g2(x).epsilon(x) est g1(x).g2(x).epsilon(x) [i.e. ça ne demande pas à s'habituer à une "nouvelle propriété"] plutôt que celui de o(g1(x)) par o(g2(x)) qui est o(g1(x).g2(x)) [qui demande à s'habituer à une nouvelle "propriété", à savoir qu'un produit de o, c'est le o du produit].

Bilan : quand je doit absolument enseigner les o(...) [du fait qu'il y a un poly. de cours/exercices commun à plusieurs groupes puis un exam. commun avec les notations du poly], ben je dit aux étudiant d'écrire o(g(x)) mais de raisonner comme s'ils avaient écrit g(x).epsilon(x). . .

[aviateur]

Bonjour
je ne sais pas copier une équation (ou formule math ) écrite par quelqu'un (si quelqu'un pouvait me dire comment on fait cela m'arrangerait)
Donc je fais référence à ta dernière équation ( 3 lignes avant la fin) "il existe c_1....." que tu appelles interprétation.
Bien qu'elle soit correcte, je trouve ton interprétation bizarre. En effet le "il existe N tel que pour tout n>=N on a...." ne sert à rien.

De mon point de vue, tout ton laïus ne sert à rien (sinon qu'il montre que tu connais la définition de la notation de Landau) . Finalement la seule chose à savoir c'est ceci:
Si tu vois dans une expression et bien tu reviens à la définition en écrivant
où est une suite qui converge vers 0 et puis c'est tout.

Mais du point de vue pratique (car la notation de Landau est avant tout pratique) tu as une masse de petites règles que tu finiras par connaître avec l'usage.
Comme dans ton exemple ce que tu n'as pas vu (et qui pour moi est le plus important à voir), c'est que tu peux simplifier en écrivant
Cela c'est l'usage qui permet de l'écrire. Et pour un débutant, pour s'en convaincre , il revient à la définition:

car converge vers 0.

[aviateur]

Pas vu le message de Ben peut être que l'on dit la même chose?

[aviateur]

Et bien , on ne dit pas la même chose. De mon point de vue la notation de Landau je la trouve particulièrement pratique. Le point de vue pédagogique n'est que secondaire du fait qu'il n'est que provisoire.

[Ben314]

je ne sais pas copier une équation (ou formule math ) écrite par quelqu'un (si quelqu'un pouvait me dire comment on fait cela m'arrangerait)

Concernant ça, fastoche : tu "cite" le message et tu as le code directement dans ton message.

Sinon, concernant l'utilité des notation de Landau, j'irais sûrement pas "me battre jusqu'au bout" pour essayer de faire valoir mon point de vue (i.e. que c'est franchement pas d'une utilité dantesque) : le bidule est certes d'un faible intérêt (écrire trois symbole en moins = bof bof bof) mais d'un autre coté, c'est vrai qu'on s'habitue relativement facilement si on est "un peu matheux dans l'âme" (*)
Donc a mon avis, l'opinion de chacun sur le sujet va dépendre quasi exclusivement de l'époque où ils ont utilisé pour la première fois ces symboles :
tôt = je me suis rapidement habitué (et on m'a pas laissé le choix) = je trouve ça utile.
tard = j'ai pas bien vu l'intérêt par rapport à ce que j'avais l'habitude d'écrire = je trouve que ça sert à rien.

(*) Mais bon, dans la pratique, ce que je vois, c'est qu'il y a un certain nombre d'étudiants de L3, voire de M1 qui savent pas les manipuler lorsqu'on fait du calcul différentiel et qu'on écrit la formule "générale" de Taylor (avec des différentielles et des différentielles secondes) mais d'un autre coté, faut reconnaitre que ceux qui bloquent là dessus, ben en général, c'est pas que ça qui pose problème (c'est les même qui t'écrivent à longueur de page des trucs du style A+X où A est une matrice et X un vecteur...)

[chombier]

J'aurais du écrire f() à la place de ln(), vu je me place d'un point de vue formel.

Personnellement je n'aime pas cette notation. Ecrire une égalité alors qu'on a ni symétrie ni transitivité je trouve ça très déstabilisant.

signifie : pour un certain ,
signifie : pour tout , il existe un , , où le choix de w' dépends de celui de u'.

En considérant o(u) comme un ensemble (en l'occurence un sous-espace vectoriel de ), les formules


sont parfaitement correctes.

Formellement, les o() sont rigoureux si on les considère comme des ensemble et qu'on remplace les = par des et des . Les epsilon se manipulent mieux. mais là encore je serais un peu plus exigeant :

J'écrirais plutôt , en explicitant le fait que , qu'on voit bien que dépends de et et pas l'inverse, i.e. que l'égalité ne se renverse pas, autrement dit qu'on a une inclusion stricte : [/tex]o(g_1)o(g_2) \subset o(g_1 g_2)[/tex]

Et j'ai vraiment pas l'impression de couper les cheveux en quatre.

[chombier]

Donc je fais référence à ta dernière équation ( 3 lignes avant la fin) "il existe c_1....." que tu appelles interprétation.
Bien qu'elle soit correcte, je trouve ton interprétation bizarre. En effet le "il existe N tel que pour tout n>=N on a...." ne sert à rien.

Tu parles de ce "il existe" là :
si ?

Il est obligatoire parce qu'il est possible que pour un nombre fini de terme, on ait et .

Par exemple si on prends et , on a bien et pourtant il n'existe pas de tel que pour la bonne et simple raison que et , donc on aurait ce qui est absurde. Ici on doit prendre N=8.

[aviateur]

Oui tu as raison. Je retire ce que j'ai dit (pour cette partie là).

Mais pour le reste la notation de Landau est très utilisée dans la littérature et il n'il n'y a pas de problème à écrire des choses comme o(1)+o(1)=o(1) dans la mesure où l'on sait ce que cela signifie.

[chombier]

Oui tu as raison. Je retire ce que j'ai dit (pour cette partie là).

Mais pour le reste la notation de Landau est très utilisée dans la littérature et il n'il n'y a pas de problème à écrire des choses comme o(1)+o(1)=o(1) dans la mesure où l'on sait ce que cela signifie.

Si on sait ce que cela signifie, tout est là ! Car ce n'est jamais vraiment explicité (si tu as une référence rigoureuse je suis preneur !!).

Il se trouve qu'en l'occurence c'est une véritable égalité, en effet



D'ailleurs j'ai corrigé mes messages car j'ai été un peu léger : est un sous-espace vectoriel de .

J'ai trouvé mon bonheur dans le Arnaudiès-Fraysse qui écrit et

[Pseuda]

Bonsoir,

http://gilles.dubois10.free.fr/analyse_ ... andau.html

J'ai eu du mal aussi à m'habituer à la notation , par rapport à la notation (par exemple plutôt que ), mais maintenant, avec l'habitude, je la préfère, parce que plus courte et plus simple, et tout à fait équivalente.

Le déclic, cela a peut-être été de me dire que , etc..., donc finalement, la notation , suite qui tend vers 0, remplace complétement et avantageusement la notation .

Je vois la notation (par exemple), comme celle d'une suite dont on a rien à faire (par rapport à la partie principale de la suite qui tend vers l'infini au moins aussi vite que ), un peu comme les points de suspension d'un nombre décimal. On va écrire 3,14.... et cela nous suffit pour ce que l'on veut en faire.

Effectivement , car est lui-même .
Mais n'implique pas que tend vers , car on ne sait rien de .

Perso, c'est plutôt la notation que j'ai du mal à appréhender, mais avec l'habitude...... .

[aviateur]

Bonjour
La notation O et ne sont pas plus difficiles à manipuler que o. Tout est histoire d'habitude.
Par exemple O(1/n)+o(1/n)=O(1/n)
Ce que je reproche à la notation O et o c'est de se ressembler. Par exemple on a O(1/n)+o(1/n)=O(1/n)
mais si on écrit mal cela peut ressembler à O(1/n)+o(1/n)=o(1/n) qui est faux.
Il faut donc faire très attention à l'écriture quand les 2 interviennent en même temps dans les calculs
Dans le même genre, il y a la notation qui je pense n'est pas très connue mais particulièrement utile lorsque on fait de nombreuses estimations et c'est fréquent en analyse. Certains évitent cette notation en faisant intervenir une constante strictement positive C qui peut être différente à chaque occurrence, tout cela pour éviter des constantes ....

[chombier]

Je me souviens très bien de la première fois que mon cerveau a explosé. C'est quand on a fait des produits de DL. Exemple :

: OK
: OK

Mais

 là j'ai vraiment l'impression de me faire voler.




Ceci dit j'aime beaucoup ta vision, Pseuda. Voir x^k comme le kième chiffre après la virgule, et o(x^k) comme un nombre dont on ne connaitrait que les k premiers chiffres.

Ca donne beaucoup de sens à

Il suffit d'ordonner : 1, o(1), x, o(x), x^2, o(x^2)... et de couper tout ce qu'il y a après le premier o()





Franchement merci pour cette analogie !

[Pseuda]

Bonjour,

C'est exactement ça. , tout ça, c'est du (au voisinage de 0). Donc .
Quand il y a deux dans une expression, l'un devient superflu (le plus précis, noyé par la moins bonne précision de l'autre). Par exemple, on a (au voisinage de 0) : (par exemple ), mais on n'a pas (par exemple ).
Ceci dit, avec la notation ou , on ne peut en mettre qu'une seule dans une expression, donc je ne vois pas bien.

@aviateur Concernant la notation O, je ne voyais pas son intérêt par rapport la notation o, car une suite est une suite (qui peut le plus peut le moins), et que rien n'empêche cette relation d'être symétrique (on peut avoir à la fois et , ce qui n'est pas le cas de la notation o.
J'ai fini par comprendre son intérêt quand j'ai compris :
- son intérêt par rapport à la notation o : par moments, elle évite un développement supplémentaire de la fonction ou de la suite (à un terme plus précis), par exemple pour les séries (si le terme général de la série est et que la série converge, alors la série converge)
- son intérêt pour la comparaison : elle sert notamment à dire qu'une suite tend vers 0 avec qui tend vers 0 (dans ce cas, son intérêt est : bornée => elle ne tend pas vers l'infini, donc ne vient pas contrarier qui tend vers 0).
Enfin c'est vrai que les 2 notations se ressemblent et que la similitude de leur écriture prête à confusion.

[aviateur]

@pseuda il m'est arrivé plusieurs fois dans des travaux de faire d'énormes (dans le sens particulièrement long) développements asymptotiques avec des o et O mélangés. Chacun avait son importance car il n'y a pas tout à fait la même information. Donc dans ce genre de situation sans ces notations simplifiées la rédaction aurait été plus que lourde.
Maintenant à un niveau plus basique on peut laisser des "\epsilon " pour celui qui veut bien, mais si je prends ton exemple @chombier où tu dis "j'ai l'impression de me faire voler" là vraiment je ne comprends pas en quoi tu te fais voler: En effet tu as (1+x+o(x))(1+x+o(x)) à développer:
Dans la pratique il n'est pas nécessaire d'écrire tous les termes qui sont des o(x), (car o(x)+o(x)=o(x) et dans la pratique, je mets dès le départ le o(x) à la fin de l'expression)
il vient donc (1+x+o(x))(1+x+o(x))=1+x+x+o(x)=1+2x+o(x) et puis c'est tout. (sur les 9 termes du développement seuls 3 ne sont pas des o(x) , les 6 autres sont des o(x) quand on les ajoute cela fait un petit o(x))

Franchement merci pour cette analogie !

D'ailleurs je remarque que tu as faux dans ta dernière expression, à moins que cela soit un lapsus, cela montre que tu n'as pas encore compris que qu'est un petit o()

[chombier]

On se fait voler pédagogiquement.

u = o(v), on a une définition solide mais finalement assez complexe (avec un voisinage et une fonction qui tends vers 0). On nous explique bien de faire attention à cette notation parce que ce n'est pas vraiment une égalité. Ce n'est pas parce que u = o(v) et w=o(v) que u=v. On nous explique aussi que d'une certaine façon ce n'est pas une égalité mais une inclusion. Ensuite on étends un peu la notation en disant que u = v + o(w) est équivalent à u-v = o(w)

Ensuite de la notation
u = f + o(g)
u' = f' + o(g')

On arrive à


Au vu des définitions données, Cela n'a plus aucun sens. Mais ce n'est pas grave, on va distribuer la multiplication par rapport à l'addition, et on va faire comme si tout était normal.

J'ai bien compris la logique sous-jacente, mais elle n'est jamais explicitée. On se fait voler, je vous le dit ! Il y a de la poussière sous le tapis !

Mon explication à moi :
1) Techniquement et sont des ensemble, et on devrait donc écrire

2) Il est sous-entendu que si A et B et C sont des ensemble quelconques de fonctions, on va noter
,
Avec ces notations on a bien A(B+C) = AB+AC ; (A+B)C=AC+BC ; (AB)C=A(BC) ; A+B=B+A ; AB=BA etc.
Ce qui explique qu'on ait le droit de distribuer, de changer l'ordre des termes... malgré le fait qu'on manipule des ensembles de fonctions.

[Pseuda]

D'ailleurs je remarque que tu as faux dans ta dernière expression, à moins que cela soit un lapsus, cela montre que tu n'as pas encore compris que qu'est un petit o()

J'ai beau relire 3 fois, je ne vois pas.

[chombier]

D'ailleurs je remarque que tu as faux dans ta dernière expression, à moins que cela soit un lapsus, cela montre que tu n'as pas encore compris que qu'est un petit o()

J'ai beau relire 3 fois, je ne vois pas.

Peut-être que toi non plus tu n'as pas encore compris ce qu'est un petit o()