Permutation , transpositon

[mostdu95]

bonsoir
j'arrive pas à montrer que Sn( groupe symetrique) est engendre par la transposition (1,2),(1,3),......(1,n)
vous avez des idees s'il vous plait
merci d'avance

[Nightmare]

Salut

as-tu essayé une récurrence?

[ThSQ]

Si tu as montré que Sn était engendré par les cycles il suffit de se ramener à montrer qu'un cycle est produit de transpositions.

[yos]

(1,i)(1,j)(1,i)=...

[mostdu95]

Si tu as montré que Sn était engendré par les cycles il suffit de se ramener à montrer qu'un cycle est produit de transpositions.

l'idee m'est venu é l'esprit mais je ne sais pas comment montrer que c'est engendre par des cycles

[Dyo]

Tu fais une récurrence sur n :

En supposant que est engendré par les cycles (i,j),
Soit , tu as 2 cas:
1) Si alors est en fait dans , donc on applique l'hypothèse de récurrence.
2) Si alors tu peux poser , tu as bien donc tu lui appliques l'hypothèse de récurrence comme dans 1) et tu as au final un produit de transpositions.

Ensuite tu appliques la formule de Yos :

(1,i)(1,j)(1,i)=...

[yos]

Je ne tenais pas à la récurrence. Je voulais dire que les transpositions (1,i) engendrent toutes les transpositions, qui elles-mêmes engendrent .

[Dyo]

Pour montrer que est engendré par les (1,i) oui il n'y a pas besoin de récurrence mais pour montrer qu'il est engendré par les transpositions, on a besoin d'une récurrence non ?

[yos]

pour montrer qu'il est engendré par les transpositions, on a besoin d'une récurrence non ?

Oui mais ce n'est pas la question posée il me semble. C'est du cours non?