Permutation

[ptit_andrea65]

Bonjour à tous je rencontre qq difficultés pour cette question pourriez vous m'aider svp !!! :mur:

Soit f : N / {0;1} -> N / {0;1} définie pour tout n € N / {0;1} par :
Pout tout n supérieur ou égal à 1

f(3n-1) = 2n
f(3n) = 4n - 1
f(3n + 1) = 4n+1

Montrer que f est une permutation de N / {0;1}


Je ne sais pas du tout comment faire pour démontrer l'existence d'une permutation .. Si vous aviez deux ou trois pistes .. Raisonnement par récurrence ? Dénombrement ?
MERCI POUR VOTRE AIDE !!!
:cry:
Andréa

[Nightmare]

Bonjour,

une permutation de E c'est une bijection de E dans E.

Il suffit donc de montrer que f est bijective.

rien de bien compliqué.

Soit x et x' distincts.

On raisonne par disjonction des cas :
Si x est de la forme 3n-1 et x' de la forme 3n'
Alors f(x)=2n et f(x')=4n'-1
f(x) est pair et f(x') impair donc f(x) et f(x') sont distincts.

Si x est de la forme 3n-1 et x' de la forme 3n'+1 c'est la même chose.

Si x est de la forme 3n est x' de la forme 3n+1 alors f(x)=4n-1 et f(x')=4n'+1
Supposons que f(x)=f(x'), alors 4n-4n'=2. Un membre est divisible par 4, l'autre ne l'est pas, absurde.

Dans tous les cas, f(x) et f(x') sont distincts donc f est injective.

f surjective c'est plus rapide.

Soit y un entier de N/{0,1}, son reste dans la division par 4 est soit 0, soit 1, soit 2, soit 3.
Si le reste est 0, alors il existe k tel que y=4k et dans ce cas y=f(6k-1)
Si le reste est 1, alors il existe k tel que y=4k+1 et y=f(3k+1)
Si le reste est 2, il existe k tel que y=4k+2=2(2k+1) donc y=f(3(2k+1)-1)
Si le reste est 3, il existe k tel que y=4k+3=4(k+1)-1 donc y=f(3(k+1))

Dans tous les cas, y admet au moins un antécédent par f d'où f est surjective.

Au final f est injective et surjective, c'est bien une permutation.

[Joker62]

Un peu à la sauce [url="http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=17169"]http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=17169[/url]

J'te conseil d'essayer de voir le rapport entre les deux

Ben moi j'suis parti compliqué apparemment lol

[ptit_andrea65]

:we: Merci beaucoup à vous deux j'ai bien compris le raisonnement Bonne soirée !!! :++: