Permutation (résolu)

[dudumath]

Bonjour, j'ai une petite inégalité à démontrer, la voici:(l'inégalité est large)

S_n désigne le groupe des permutations de {1,...,n}
On considère a1<a2<...<an et b1<b2<...<bn (toujours avec des inégalités larges)
Il s'agit de montrer que:



J'ai pensé le faire par récurrence, mais j'ai un problème lorsque je me ramène à une expression dans le but d'utiliser l'hypothèse de récurrence:

On a :


Le problème est qu'à ce stade le signe de la 3ème somme n'est pas connu, donc je ne peux conclure.

Si vous avez des idées pour essayer d'avancer, elles sont les bienvenues!!

[Nightmare]

Salut,

ca me fait un peu penser à l'inégalité de réordonnement !

[Ben314]

Salut,
Si je ne me trompe, ton problème revient à montrer que, parmi les différentes sommes , celle qui est la plus petite est celle corespondant à la permutation .

Ce minimum existe forcément (ensemble fini) et, à ta place, je commencerais par écrire que, partant de la permutation qui donne la somme minimale (permutation pour le moment inconnue), toute transposition doit faire augmenter la somme.
Je pense (pas sûr) que c'est suffisant pour montrer que le mini est obtenu pour ...

Je vais vérifier...

EDIT : oui effectivement, ça marche et c'est trés simple.

[dudumath]

Merci, c'est vrai que je m'embarquais peut-être dans quelque chose un peu compliqué :)