Z[sqrt(14)] pas euclidien pour la norme

[melreg]

Bonjour,

J'ai le problème de théorie des nombres suivant :

Montrer que n'est pas euclidien pour la norme. ().

En fait, il s'agit de montrer qu'il n'existe pas d'élément t.q. |N(-q)|< 1.

Merci d'avance

[klevia]

Salut,
juste une précision, a et b appartiennent bien à ?

autre question : es-tu sur de ton énoncé:
ne me parait pas être une norme car pour a=0 et b=1 on obtient: ce qui est impossible pour une norme ....

[tize]

Bonjour,
il s'agit de norme algébrique et non pas de norme d'e.v.n...c'est un concept qu'on utilise souvent (à mauvais escient, je trouve...) pour les anneaux du type ou q n'est pas un carré...

[klevia]

Alors là, je suis confuse ....
J'ignorais l'existence de cette norme algébrique ....
Je me retire donc dignement de ce topic...
Bonne chance à ceux qui cherche .

[yos]

il s'agit de montrer qu'il n'existe pas d'élément t.q. |N(-q)|< 1.

Bonsoir.
Si et , on a et donc dire que |N(x)|<1 équivaut à . Mais il n'y a que deux entiers entre 9/4 et 17/4 : 3 et 4.
a(a-1)-14b(b-1) est pair donc ne vaut pas 3.
Reste à voir qu'il vaut pas non plus 4 : ça peut être laborieux à cette heure-ci.

[melreg]

Merci de ce début de réponse, je vais m'y pencher! Je vous tiens au courant!

P.S.: désolé pour la précision de l'énoncé!

[tize]

Si j'ai bien compris, on veut montrer que n'est pas un stathme euclidien sur ...et donc avec le contre-exemple : il n'existe pas de q tel que :
et donc : avec on a alors :

Une étude dans supprime les cas -2;0;2
Une étude dans supprime les cas 1 et -3
Une étude dans supprime tous les autres cas.
C'est donc impossible mais une question :
cela veut dire que |N(.)| n'est pas un stathme euclidien sur l'anneau mais cela ne prouve pas que l'on ne puisse trouver un autre stathme pour lequel est euclidien, non ?

[melreg]

Merci beaucoup tize, j'ai pu m'en sortir.
Pour répondre à ta question, Samuel a conjecturé en 1969 que est euclidien (bien sûr pas pour |N( )|). Selon une source du web (!), elle aurait été démontrée en 2006 par Malcolm Harper (mais je n'ai pas trouvé la fonction pour laquelle il est euclidien... sûrement trop horrible!).

Encore merci!

[tize]

Merci à toi Melreg pour ces précisions très intéressantes !