Partie entière

[Pi87]

Salut à tous !

J'ai un soucis sur une question d'un exercice.

J'ai déjà montré que E(x+y)-E(x)-E(y) appartient à {0,1}, calculé E((2-racine(3))^n), montré que (2-racine(3))^n + (2+racine(3))^n est un entier pair.

Mais il me demandent de démontrer que si x et y sont des réels tels que y appartient à ]0,1[ et x+y est un entier pair alors E(x+y)-E(x)-E(y)=1 ...

Pouvez-vous m'aider svp?
Merci d'avance !

[leon1789]

J'ai déjà montré que E(x+y)-E(x)-E(y) appartient à {0,1},
(...)
Mais il me demandent de démontrer que si x et y sont des réels tels que y appartient à ]0,1[ et x+y est un entier pair alors E(x+y)-E(x)-E(y)=1 ...

La réponse à cette question se trouve dans la preuve de la première réponse :
tu as fait quoi pour montrer que E(x+y)-E(x)-E(y) appartient à {0,1} ?

EDIT : en fait, il y a trop d'hypothèses dans ta question... le seul truc important --> y n'est pas entier et x+y est entier <--

[Pi87]

Pour montrer la première question, je fais ceci :

E(x+y)+1 >= x+y >= E(x+y) (1)
-E(x) > -x > -1-E(x) (2)
-E(y) > -y > -1-E(y) (3)

(1)+(2)+(3)

E(x+y)-E(x)-E(y) est entier donc on obtient le résultat ...

Merci d'avance

[leon1789]

fais attention aux inégalités strictes ou larges : c'est important dans ces histoires (surtout pour la question que tu poses).

(1) : E(x+y)+1 > x+y >= E(x+y)
(2) : -E(x) >= -x > -1-E(x)
(3) : -E(y) >= -y > -1-E(y)

en sommant (1)+(2)+(3)
E(x+y)+1 -E(x) -E(y) > 0 > E(x+y) -E(x) -E(y) -2

Comme E(x+y) -E(x) -E(y) est un entier
on a
E(x+y) -E(x) -E(y) >= 0
et
1 >= E(x+y) -E(x) -E(y)

ok.


Et qu'est que cela donne lorsque x+y est entier et pas y ?

[leon1789]

une autre preuve pour la première question :
[1] : E(x) <= x < E(x) + 1
[2] : E(y) <= y < E(y) + 1

on somme [1] + [2]
E(x) + E(y) <= x + y < E(x) + E(y) + 2

Or E(x+y) est le plus grand entier inférieur à x+y
donc E(x) + E(y) <= E(x + y) < E(x) + E(y) + 2
donc E(x + y) - E(x) - E(y) = 0 ou 1


Et qu'est que cela donne lorsque x+y est entier et pas y ? :id:

[Pi87]

Lorsque x+y est entier et pas y, E(x+y)=x+y, non ?
Mais je ne vois pas après pour que ça donne 1
E(x) et E(y) sont entiers de toute façon, par définition. :mur:

[Doraki]

Faut pas oublier que 0

[leon1789]

Faut pas oublier que 0<y<1.

Lorsque x+y est entier et pas y, E(x+y)=x+y, non ?
Mais je ne vois pas après pour que ça donne 1
E(x) et E(y) sont entiers de toute façon, par définition. :mur:

En fait, je dois être fatigué ou quoi :hein: , mais après ta preuve, je ne vois comment prouver instantanément le résultat... alors qu'après celle que je propose, ça vient tout seul !

[Pi87]

E(x + y) - E(x) - E(y) = x+y - E(x) - 0 : c'est juste ?

[leon1789]

E(x + y) - E(x) - E(y) = x+y - E(x) - 0 : c'est juste ?

oui, c'est juste

[leon1789]

En fait, la preuve que je propose montre des inégalités plus fines que les tiennes :

en sommant (1)+(2)+(3)
E(x+y)+1 -E(x) -E(y) > 0 > E(x+y) -E(x) -E(y) -2

Là, l'écart est de 3 entre le maxi et le mini

on somme [1] + [2]
E(x) + E(y) <= x + y < E(x) + E(y) + 2

Ici, l'écart est de 2 entre le mini et le maxi.



C'est peut-être pour ça qu'on n'y arrive pas en adaptant ta preuve,
mais qu'avec celle que je te propose, on y arrive sans problème...
Etonnant non ? :hein: Doraki, tu en penses quoi ?

[Pi87]

Il faut montrer que x+y - E(x) = 1
E(x) <= x < E(x) + 1

Oula, je n'arrive pas à enlever le E(x) :doh:

[Doraki]

x-E(x) >= 0 et y > 0 donc x+y-E(x) > 0

[Pi87]

E(x) + E(y) <= x + y donc x+y-E(x) >=0 mais on ne peut pas deduire que c'est égal à 1, si ?

A ok merci beaucoup à vous deux !
Bonne soirée!

[leon1789]

x-E(x) >= 0 et y > 0 donc x+y-E(x) > 0

ok, là tu refais une démo différente

[Doraki]

Je préfère la tienne vu qu'on remplace simplement E(y)<=y par E(y)