Partie entière

[pluie2]

Bonjour, dernière question sur le forum pour moi aujourd'hui:

j'aimerais avoir une correction ici :

Soit f(x)=xE(1/x). Donner la limite de f en -oo et +oo.

J'ai fait :

Pour x<0 :

x-11/x-11-x
et pour x>0 :
1/x1
En +oo :

je trouve une limite de 1 ou -oo j'hésite comment faire ?

et en -oo je trouve +oo ou 1

Merci de m'expliquer

[bneay]

Bonjour, dernière question sur le forum pour moi aujourd'hui:

j'aimerais avoir une correction ici :

Soit f(x)=xE(1/x). Donner la limite de f en -oo et +oo.

J'ai fait :

Pour x0 :
1/x<E(1/x)<1/x-1
1<xE(1/x)<1-x

En +oo :

je trouve une limite de 1 ou -oo j'hésite comment faire ?

et en -oo je trouve +oo ou 1

Merci de m'expliquer

mon cher, faut revoir les inégalité que t'as écrit, c faut !! lorsque x est négative, en multipliant par x, on iverse l'ordre !
(ça doit fait partir du forum lycée)

[chan79]

mon cher, faut revoir les inégalité que t'as écrit, c faut !! lorsque x est négative, en multipliant par x, on iverse l'ordre !
(ça doit fait partir du forum lycée)

Dès que x>1, f(x)=0
La limite en 0 est intéressante.

[pluie2]

Non c'est bien ce forum.

Je refais mes inégalités :

Pour x>0 :
x-1< E(x)=1/(x-1)>E(1/x)>=1/x
1=
Pour x<0 :
x-1< E(x)=1/(x-1)1<=xE(1/x)
Je pense que c'est juste je ne vois pas sinon

En 0, f(x) tend vers 1

et c'est en -oo et +oo que je ne sais pas

comment faire?

[Ben314]

En -oo et +oo, c'est franchement sans intérêt comme question vu que 1/x tend vers 0 et donc que la partie entière de 1/x est constament égale à 0 si 1/x>0 (et proche de 0) ou bien elle est constament égale à -1 si 1/x<0 (et proche de 0)

Donc dans la limite en question le E(1/x) il est constant (=0) quand x->oo et il est constant (=-1) lorsque x->-oo

[pluie2]

j'ai du mal à comprendre ce que vous voulez dire...

en fait j'aimerais utiliser le théorème des gendarmes mais c'est le 1 qui me dérange. A la calculette, je trouve qu'en +oo xE(1/x) tend vers 1 et en -oo vers +oo donc c'est à partir de l'encadrement que je n'arrive pas à trouver ces infos (question de colle)...

[Ben314]

en fait j'aimerais utiliser le théorème des gendarmes...

Si tu veut, on va utiliser le théorème des gendarmes dans le cas où x->+oo (je te laisse l'autre cas).
Pour x>1 on a 00, j'obtient 0<=xE(1/x)<=0 et comme les deux cotés de l'encadrement tendent tout les deux vers 0 (et pour cause... :doh: ), le truc du milieu tend aussi vers 0.

Ça te va ?


P.S.

A la calculette, je trouve qu'en +oo xE(1/x) tend vers 1...

jette ta calculette...

[pluie2]

oui d'accord sauf que je ne comprends pas pourquoi vous utilisez 1.

Pourquoi ne pas repartir d'ici :

1<=xE(1/x) donc x/(x-1)=1/(1-1/x) et quand x tend vers +oo alors f(x) tend vers 1 ?

[Ben314]

oui d'accord sauf que je ne comprends pas pourquoi vous utilisez 1.

Pourquoi ne pas repartir d'ici :

1<=xE(1/x)<x/(x-1)
donc x/(x-1)=1/(1-1/x) et quand x tend vers +oo alors f(x) tend vers 1 ?

Je ne part pas "d'ici" comme tu dit pour (au moins) deux raisons :
1) Cette inégalité me semble totalement "grotesque" lorsque x tend vers l'infini puisqu'en moins d'une seconde j'arrive à encadrer le réel 1/x par deux entiers (à savoir 0 et 1) et que ça me premet d'avoir la valeur EXACTE de E(1/x) (à savoir 0).
2) L'inégalité dont tu tient absolument à partir est non seulement "grotesque", mais en plus elle n'est pas assez précise pour pouvoir conclure : à la fin tu as un encadrement de xE(1/x) par deux quantités qui n'ont pas la même limite en +oo donc tu en déduit... que dalle...

Conclusion : "grotesque" et "insufisant"...

P.S. ton encadrement, ça me fait penser à un certain nombre d'étudiant qui, pour étudier une limite lorsque x tend vers +oo, majorent |sin(x)| par... x... :mur:

[pluie2]

j'ai une colle demain sur cette question et je suis completement perdu avec ma réponse

pouvez vous me la rédiger correctement s'il vous plait et je ne vous embête plus ?

[Ben314]

Bon, je détaille :

Si on part de l'inégalité E(x)0, en multipliant par x, on obtient 1-x+oo alors que le terme de droite reste constament égal à 1.
Donc on en déduit... que dalle... (à part que, si jamais la limite existe, elle est forcément -oo :

(idem...) ...pour tout x non nul, 1/x-1xE(1/x)>=1.
Le terme de gauche de l'encadrement tend vers +oo lorsque x->-oo alors que le terme de droite reste constament égal à 1.
Donc on en déduit... que dalle... (à part que, si jamais la limite existe, elle est forcément >=1)

[pluie2]

ok ça j'ai compris c'est vrai que ça parait logique maintenant.

Mais alors maintenant, je dois déterminer (montrer l'existence et donner la limite en -oo et +oo) de xE(1/x) donc comment dois je l'écrire ? que dois je calculer ? dire ?

désolé si je me répète

[Ben314]

Tu te foutrait pas un peu de notre gueule ?

Pour x>1 xE(1/x)=0 donc ...
Pour x<-1 xE(1/x)=-x donc ...

[pluie2]

donc limite quand x tend vers +oo vaut 0 et +oo quand x tend vers -oo

[chan79]

Si on pose f(0)=1, f est continue en 0 mais elle ne l'est sur aucun intervalle centré en 0.