Partie entière II

[Dinozzo13]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour les deux exercices suivant :

1°) Montrer que :
.

J'ai eu beau chercher, regarder plusieurs corrections différentes, rien n'y fait, je ne parviens pas à démontrer cette égalité.

2°) Soit .
Déterminer .

Ici, on m'a conseillé de compter le nombre d'entiers compris entre deux carré parfait consécutifs.
Soit un entier naturel non nul tel que .
équivaut à équivaut

k peut donc prendre valeurs entières.
Mais après je ne vois pas quoi faire :triste:

Merci d'avance pour votre aide :+++:

[Manny06]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour les deux exercices suivant :

1°) Montrer que :
.

J'ai eu beau chercher, regarder plusieurs corrections différentes, rien n'y fait, je ne parviens pas à démontrer cette égalité.

2°) Soit .
Déterminer .

Ici, on m'a conseillé de compter le nombre d'entiers compris entre deux carré parfait consécutifs.
Soit un entier naturel non nul tel que .
équivaut à équivaut

k peut donc prendre valeurs entières.
Mais après je ne vois pas quoi faire :triste:

Merci d'avance pour votre aide :+++:

une idée pour le 1)
soit E(x)=p partager l'intervalle [p;p+1[ en n parties égales
il existe k tel que
p+k/n<=x<p+(k+1)/n np+k<=nx<np+k+1 soit E(nx)=np
ensuite compter le nombre de x+i/n dont la partie entière est p puis ceux dont la partie entière est
p+1 et ajouter les resultats on doit trouver np+k

[Manny06]

une idée pour le 1)
soit E(x)=p partager l'intervalle [p;p+1[ en n parties égales
il existe k tel que
p+k/n<=x<p+(k+1)/n np+k<=nx<np+k+1 soit E(nx)=np
ensuite compter le nombre de x+i/n dont la partie entière est p puis ceux dont la partie entière est
p+1 et ajouter les resultats on doit trouver np+k

pour le 2) essayer de trouver une relation de récurrence entre Sn (somme jusqu'à n²)et Sn+1
(somme jusqu'à (n+1)²

[chan79]

une idée pour le 1)
soit E(x)=p partager l'intervalle [p;p+1[ en n parties égales
il existe k tel que
p+k/n<=x<p+(k+1)/n np+k<=nx<np+k+1 soit E(nx)=np
ensuite compter le nombre de x+i/n dont la partie entière est p puis ceux dont la partie entière est
p+1 et ajouter les resultats on doit trouver np+k

Bonjour
Je reprends l'idée de Manny06
On partage l' intervalle [E(x),E(x)+1] en n parties égales
x est situé dans l'un de ces intervalles: [E(x)+r/n,E(x)+(r+1)/n[
E(x)+r/n <= x < E(x)+(r+1)/n
nE(x)+r <= nx < nE(x)+r+1
donc E(nx)=nE(x)+r


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Montrons que la somme des E(k/n) quand k varie de 0 à (n-1) est égale à nE(x)+r
1°) Si 0 <=k<= n-r-1
0<=k/n<=(n-r-1)/n
d’autre part E(x)+r/n <= x < E(x)+(r+1)/n
Par addition E(x)+r/n <= x+ k/n <E(x)+1
E(x+k/n)=E(x)
donc = (n-r) E(x)
A noter qu'à ce stade, si r=0, la démonstration est terminée
2°) Si n-r <=k<=n-1
on procède de même et on aboutit à
= r(E(x)+1)
Il reste à ajouter:
(n-r) E(x)+r(E(x)+1)=nE(x)+r

[Manny06]

Bonjour
Je reprends l'idée de Manny06
On partage l' intervalle [E(x),E(x)+1] en n parties égales
x est situé dans l'un de ces intervalles: [E(x)+r/n,E(x)+(r+1)/n[
E(x)+r/n <= x < E(x)+(r+1)/n
nE(x)+r <= nx < nE(x)+r+1
donc E(nx)=nE(x)+r


Uploaded with ImageShack.us
Montrons que la somme des E(k/n) quand k varie de 0 à (n-1) est égale à nE(x)+r
1°) Si 0 <=k<= n-r-1
0<=k/n<=(n-r-1)/n
d’autre part E(x)+r/n <= x < E(x)+(r+1)/n
Par addition E(x)+r/n <= x+ k/n <E(x)+1
E(x+k/n)=E(x)
donc = (n-r) E(x)
A noter qu'à ce stade, si r=0, la démonstration est terminée
2°) Si n-r <=k<=n-1
on procède de même et on aboutit à
= r(E(x)+1)
Il reste à ajouter:
(n-r) E(x)+r(E(x)+1)=nE(x)+r

pour le 2)
Sn+1=Sn+E(V(n²+1))+E(V(n²+2))+.....+E(V(n²+2n))+E(V(n²+2n+1))
=Sn+n*2n+n+1

ensuite en sommant les differnces Sn+1-Sn et en utilisant les formules donnat les sommes des entiers consécutifs etcelle des carrés des entiers consécutifs tu devrais aboutir à
Sn=(n/6)(4n²-3n+6) (si je n'ai pas fait d'erreur de calcul)

[Dinozzo13]

Bonsoir,

pour le 2) essayer de trouver une relation de récurrence entre Sn (somme jusqu'à n²)et Sn+1
(somme jusqu'à (n+1)²

Si on pose alors

pour le 2)
Sn+1=Sn+E(V(n²+1))+E(V(n²+2))+.....+E(V(n²+2n))+E(V(n²+2n+1))
=Sn+n*2n+n+1

ensuite en sommant les differnces Sn+1-Sn et en utilisant les formules donnat les sommes des entiers consécutifs etcelle des carrés des entiers consécutifs tu devrais aboutir à
Sn=(n/6)(4n²-3n+6) (si je n'ai pas fait d'erreur de calcul)

Par contre, là je ne comprends pas bien ce que tu veux que fasse :
Que veux-tu dire par sommer les différences , tu veux dire sommer de k=1 jusqu'à n ?

Et pourquoi faire cela ?

[Doraki]

Il a dit d'étudier et d'en tirer les conséquences.

[Manny06]

Il a dit d'étudier et d'en tirer les conséquences.

cette somme est égale à 2n²+n+1

[alm]

Bonsoir,
On se servira de :

[CENTER][/CENTER]

[alm]

cette somme est égale à 2n²+n+1

ce n'est pas plutôt : ?

[Manny06]

ce n'est pas plutôt : ?

pour moi il y a 2n termes égaux à n de E(V(n²+1) à E(V(n²+2n) et le dernier terme est
E(V(n²+2n+1) =n+1
j'ai d'ailleurs verifié pour S2 et S3

[alm]

Bonsoir,
1°) Montrer que :
.

Dans tout ce qui sui, si est un ensemble fini alors dénote la cardinal de , c'est-à-dire si est vide et le nombre d'éléments de sinon.
Je propose une preuve que je ne finis pas pour permettre une occasion de la compléter.
On pose : avec alors
On a : x+ \frac kn = p+x' + \frac kn avec 0 \leq x' + \frac kn < 2
Soit et
Alors et si bien que :



Travail qui reste à faire : prouver que

[Dinozzo13]

Bonsoir,
On se servira de :

[CENTER][/CENTER]

Bonjour,

A un moment donné, j'utilise :
[CENTER].[/CENTER]

Mais je comprends pas bien comment se servir de ta formule.
En particulier pour on a la somme . Or pour , et pour , .

Sinon, c'est bon pour le 2°), j'ai réussis :+++:

Je continuer de regarder pour le 1°)

[Zweig]

Salut,

Pour le 1).

On pose f(x) = membre de de gauche - membre de droite. On veut montrer que f est identiquement nulle sur R.

On montre que f(x + 1/n) = f(x) pour tout entier naturel n. Du coup, il suffit d'étudier f sur un intervalle d'amplitude 1/n, par exemple sur [0, 1/n], par periodicité, on pourra étendre le résultat sur R entier.

Or sur cet intervalle, on a clairement f(x) = 0.

[Dinozzo13]

Hey bonjour Zweig !

J'ai effectivement réussis avec ta méthode.
Merci :+++:

Dans tout ce qui sui, si est un ensemble fini alors dénote la cardinal de , c'est-à-dire si est vide et le nombre d'éléments de sinon.
Je propose une preuve que je ne finis pas pour permettre une occasion de la compléter.
On pose : avec alors
On a : avec
Soit et
Alors et si bien que :



Travail qui reste à faire : prouver que

Ta méthode m'intéresse je vais m'y hâter :++:
N'auraist-t-on pu poser , où est la partie entière de et sa partie décimale, au lieu de ?

[alm]

pour moi il y a 2n termes égaux à n de E(V(n²+1) à E(V(n²+2n) et le dernier terme est
E(V(n²+2n+1) =n+1
j'ai d'ailleurs verifié pour S2 et S3

Salut Manny06:

Tu as raison et j'ai tort : J'ai réfiat mes calculs ça donne :
D'ailleur je t'avais fait la remarque sous forme d'une question (douteuse) car je n'avais pas vérifié au crayon
Merci.

[Dinozzo13]

Bonjour, me revoilà pour de nouveaux calculs.

J'aimerais calculer les parties entières suivantes :

3°)

4°)

Pour la 3°), je n'arrive pas du tout à démarrer :triste:

Pour la 4°) :
Je pose .
Je cherche donc à déterminer le nombre de valeurs que prendre .
équivaut à équivaut à .

Donc n peut prendre valeurs.
Mais après je ne vois comment poursuivre.

Merci d'avance pour votre iade :++:

[Manny06]

Bonjour, me revoilà pour de nouveaux calculs.

J'aimerais calculer les parties entières suivantes :

3°)

4°)

Pour la 3°), je n'arrive pas du tout à démarrer :triste:

Pour la 4°) :
Je pose .
Je cherche donc à déterminer le nombre de valeurs que prendre .
équivaut à équivaut à .

Donc n peut prendre valeurs.
Mais après je ne vois comment poursuivre.

Merci d'avance pour votre iade :++:

pour la 3) montre que
2V(k+1)-2Vk<1/Vk<2Vk-2V(k-1)

[Dinozzo13]

pour la 3) montre que
2V(k+1)-2Vk<1/Vk<2Vk-2V(k-1)

Je ne parviens pas à retrouver ton inégalité :
Je sais qu'on doit utiliser les intégrales mais je ne sais plus faire :triste:

[Manny06]

Je ne parviens pas à retrouver ton inégalité :
Je sais qu'on doit utiliser les intégrales mais je ne sais plus faire :triste:

inutile il faut multiplier haut et bas chaque différence par l'expression conjuguée