Partie entière

[AceVentura]

Bonjour à tous, je me suis posé la question suivante : d'ou vient l'existence de la fonction partie entière ? On m'a dit que c'était dû au fait que est archimédien, mais je ne vois pas pourquoi en fait.
Est-ce également liée au fait que est totalement ordonnée ?

Merci par avance pour vos aides.

[Doraki]

Je dirais que c'est parceque :
Z est inclus dans R.
Z n'est ni minoré ni majoré dans R.
Toute partie majorée non vide de Z a un plus grand élément.

[Ben314]

Et, si ça t'interesse pour ta culture générale, je rajouterais que, à un chouilla prés, c'est la deuxième propriétée donné par Doraki, à savoir
"Z n'est ni minoré ni majoré dans R"
Qui s'appelle "être archimédien".

[AceVentura]

Ok. Est-ce que je me trompe si je dis que est archimédien car c'est un corps totalement ordonné ?

Par suite, pour tout et . Comment de fait, prouver l'existence d'un unique entier naturel tel que ? (on posera alors m=E(x))

[Nightmare]

Salut !

A priori, un corps totalement ordonné n'est pas forcément archimédien. Par contre pour qu'on puisse parler d'archimédianité, il nous faut un ordre total.

Bref, pour prouver l'existence de la partie entière, en prenant x=1, on sait qu'on pourra toujours trouver un entier au dessus d'un réel quelconque. On pourra donc en trouver un plus petit (pourquoi ?). C'est lui, moins un, notre partie entière.

[Doraki]

L'ensemble des entiers n qui sont strictement plus grands que x est un "intervalle" de Z.

Comme R est archimédien, cet ensemble est non vide, donc a un plus petit élément (m+1).
Alors x < m+1 et il est faux que x < m, donc m <= x.
On a bien m <= x < m+1.

Et puis pour l'unicité de m ... si on a m et m' tels que
m,m' <= x < m+1,m'+1.
Comme, quand a et b sont des entiers, a < b+1 équivaut à a <= b,
Ben ça dit que m <= m' et m' <= m. Donc m=m'.

Pour info, R(X) muni de l'ordre
P <= Q ssi il existe A > 0 (et plus grand que tous les éventuels pôles de P et Q) tel que P(x) <= Q(x) pour tout x > A

est un corps totalement ordonné mais pas archimédien, vu que X est plus grand que tous les entiers.

[AceVentura]

Si on sait qu'un anneau commutatif ne possède pas d'ordre total, on peut affirmer qu'il ne peut-être archimédien. C'est ça ? C'est une condition nécessaire, mais non suffisante !

[Ben314]

Ben, de toute façon, si y'a pas d'ordre total, on peut même pas se poser la question de savoir s'il est ou pas archimédien, vu que dans ce cas là, ça veut rien dire !!!
C'est le même genre de question que de se demander si C a un plus grand élément ou pas : ça veut rien dire vu qu'il n'y a pas de relation d'ordre sur C !!!

[AceVentura]

Ben oui, c'est vrai lol ! Merci à tous.
:)