Oscillateurs amortis et bilan énergétique par intégration

[TheoH37]

Bonjour,

Je sors juste de terminale et viens d'obtenir mon baccalauréat. Je me dirige l'an prochain vers des études en classe préparatoire PCSI. Afin de me préparer au mieux, je commence à aborder les programmes de l'an prochain. Je suis arrivé au chapitre sur les oscillateurs amortis et je me retrouve face à un problème concernant le bilan énergétique. Voici l'énoncé du problème :

On étudie l'élongation d'un ressort de constante de raideur k, de longueur à vide l_0 auquel est accroché une masse M considérée comme ponctuelle. Elle est lâchée avec une vitesse initiale vec{v} = v_0 . vec{e_x} (avec e_x vecteur unitaire). Le ressort est fixé à un mur et la masse M subit une force de frottement fluide proportionnelle à sa vitesse (-h . vec{v}).

En appliquant le P.F.D., je trouve comme équation différentielle vérifiant les conditions de l'expérience :

d²x/dt² + (h/m).(dx/dt) + (k/m).x = (k/m).l_0

On résout cette équation avec les conditions initiales et on trouve :

x(t) = l_0 + v_0.t.exp([-h/ 2m].t)

Maintenant, vient le moment de faire le bilan énergétique et je me retrouve bloqué, j'ai regardé la correction et je ne l'ai pas comprise. D'abord, on nous dit de multiplier l'.E.D de part et d'autre par v.dt. Jusqu'ici tout va bien, on a donc :

(dv/dt).v.dt + (h/m).v².dt + (k/m).x.(dx/dt).dt = (k/m).l_0.v.dt

Et c'est là que grand mystère, je n'arrive pas à retrouver ce résultat, on nous dit :

Cette équation est équivalente à :

(1/2).(dv²/dt).dt + (h/m).v².dt + (1/2).(k/m).(dx²/dt).dt = (k/m).l_0.v.dt

Je sais que l'on doit retrouver ce résultat à l'aide d'une intégrale mais après de multiples essais, je n'y suis toujours pas parvenu.

Pourriez-vous me guider dans la transformation de cette équation si vous savez comment procéder ?
Cela me serait d'une très grande utilité.

En vous remerciant par avance.

T. HELLUY

[Black Jack]

Bonjour,

Dérivée de v² par rapport au temps : (v²)'= 2v*v' qui peut aussi s'écrire : d(v²)/dt = 2v.dv/dt

--> v.(dv/dt) = (1/2).(d(v²)/dt)
*****
Pareillement :

Dérivée de x² par rapport au temps: (x²)' = 2x.x' qui peut aussi s'écrire : d(x²)/dt = 2x.dx/dt

--> x.dx/dt = (1/2).(d(x²)/dt)
*****

Et donc en remplaçant v.(dv/dt) par (1/2).(d(v²)/dt) et en remplaçant x.dx/dt par (1/2).(d(x²)/dt) dans l'équation que tu as trouvée, soit "d(v/dt).v.dt + (h/m).v².dt + (k/m).x.(dx/dt).dt = (k/m).l_0.v.dt"
... tu arrives à (1/2).(dv²/dt).dt + (h/m).v².dt + (1/2).(k/m).(dx²/dt).dt = (k/m).l_0.v.dt

[TheoH37]

Bonjour,

Merci pour ta réponse rapide ! C'était en effet aussi simple que cela ! Merci infiniment !