Orthogonal

[Obito31]

Bonjour à tous,
Soit E un espace euclidien et f appartenant à O(E). Soit F un sous espace vectoriel de E. Montrer que si f(F) est inclus dans F alors f(F orto) est inclus dans F orto

Je veut montrer que tout élément de f(F orto) appartient à F orto.

Je prend un élément de y appartenant à f(F orto) donc il existe un x appartenant à F orto tel que y=f(x) puis x est orthogonal a F et par hyposte f(F) est inclus dans F donc x appartient à f(F) orto.. Sa mène nul part merci de m'aider

[Ben314]

Salut,
Si, c'est plutôt cohérent comme début.
par contre, au lieu de tourner en rond, ben faudrait peut-être songer à regarder qu'est ce que tu doit démontrer en fait.
Bref, c'est quoi ?
ou plus précisément, il faut montrer quoi pour montrer que ton élément de est en fait un élément de ?

[Obito31]

Salut ben
Il faut montrer que y est orthogonal a F ?

[Ben314]

Ben oui...
Donc en fait, il faut montrer que le produit scalaire de y avec n'importe quel x' de F fait 0.
(et c'est là qu'on voit que l'énoncé ne donne pas exactement la bonne info. pour conclure immédiatement)

[Obito31]

Oui oui je sait mais j'arrive pas à le montrer

[Ben314]

Pour montrer que on part d'un (quelconque), c'est à dire d'un avec .
On doit montrer que , c'est à dire que pour tout c'est à dire que pour tout .
Or comme est dans le groupe orthogonal de elle est bijective et on a (la dernière égalité venant du fait que .
Donc en fait ce qu'il faut montrer, c'est que pour tout , c'est à dire que .
Comme l'hypothèse qu'on a, c'est que , pour que ça marche à tout les coups, il faudrait avoir qui pourrait se déduire du fait que c'est à dire du fait que .

Et... zut, c'est pas cette hypothèse là qu'on a, mais justement celle dans l'autre sens...
Sauf qu'en fait, ça marche quand même.
Pourquoi ?