par Ben314 » 25 Mar 2015, 16:24
Salut,
A la base, il y a un problème d'énoncé : est ce que l'e.v. sur lequel tu travaille est R[X] tout entier (tout les polynômes) ou bien est-ce Rn[X] (polynômes de degré inférieur ou égal à n) ?
ça va fortement influer sur le résultat vu que R[X] est un e.v. de dim. infini alors que Rn[X] est un gentil e.v. de dim n+1 (dans le premier cas, l'orthogonal de H est réduit à {0} alors que dans le second, c'est évidement une droite vectorielle vu que H est un hyperplan).
Sinon, ce que tu as écrit est correct et cela prouve que, si un polynôme est dans l'orthogonal de H, alors tout les coeffs. du polynôme en question sont égaux, mais ça ne prouve pas la réciproque, vu que tu as pris des cas particulier de polynômes vérifiant P(1)=0.
Perso, j'aurais directement écrit que, pour un polynôme de degré <=n, le fait que P(1)=0 équivaut au fait que la somme des coeff fait 0, ce qui équivaut au fait que son produit scalaire avec Q(X)=1+X+X²+...+X^n fait 0.
Donc, dans Rn[X] (et pas dans R[X]), H est l'ensemble des polynômes orthogonaux à Q et, comme Rn[X] est de dim finie, cela signifie que l'orthogonal de H est vect{Q}.
Je te laisse réfléchir sur le fait que, dans R[X] tout entier (de dim. infini), l'orthogonal de H est {0}.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
