Bonsoir tout le monde :zen:
J'ai une question concernant les opérations élémentaires sur les lignes qui sont :
Li <-- Li+k*Lj
Li <-> Lj
Li <-- k*Li
Comment puis je montrer que l'opération Li <-> Lj peut se déduire de Li <-- Li+Lj et Li <-- k*Li
Merci beaucoup !!
PS. Je ne connais rien sur les systèmes linéaires et sur les matrices je sais effectuer des opérations de base et sais ce qu'est une matrice transposée/inversible j'espère que ce sera pas trop technique pour moi,
Opération sur les lignes
12 messages
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par gigamesh » 17 Sep 2010, 21:50
Salut,
essaie la séquence :
* L1+L2 -> L1
* -L2 -> L2
* L1+L2-> L2
* -L2 -> L2
* L1+L2 -> L1
* -L2 -> L2
PS :
Tu as déjà vu un système du genre
2x+3y=11
3x+5y=17
je suppose ? Bah c'est un système linéaire.
Et quand tu résolvais ça par combinaison en troisième,
tu faisais des opérations de base sur les lignes ; p.ex avec 3L1 -> L1 et 2L2->L2, le système devient
6x+9y=33
6x+10y=34
Dans la matrice des coefficients
2 3
3 5
on a multiplié la première ligne par 3 et la deuxième par 2 et on a trouvé
6 9
6 10.
Si tu sais résoudre un système linéaire (= du premier degré, pas de x²), tu sais bosser avec une matrice.
essaie la séquence :
* L1+L2 -> L1
* -L2 -> L2
* L1+L2-> L2
* -L2 -> L2
* L1+L2 -> L1
* -L2 -> L2
PS :
PS. Je ne connais rien sur les systèmes linéaires et sur les matrices je sais effectuer des opérations de base et sais ce qu'est une matrice transposée/inversible j'espère que ce sera pas trop technique pour moi,
Tu as déjà vu un système du genre
2x+3y=11
3x+5y=17
je suppose ? Bah c'est un système linéaire.
Et quand tu résolvais ça par combinaison en troisième,
tu faisais des opérations de base sur les lignes ; p.ex avec 3L1 -> L1 et 2L2->L2, le système devient
6x+9y=33
6x+10y=34
Dans la matrice des coefficients
2 3
3 5
on a multiplié la première ligne par 3 et la deuxième par 2 et on a trouvé
6 9
6 10.
Si tu sais résoudre un système linéaire (= du premier degré, pas de x²), tu sais bosser avec une matrice.
par benekire2 » 18 Sep 2010, 08:25
Salut gigamesh !
C'est niquel comme algorithme, je m'attendais a un truc vachement plus compliqué mais en fait c'est tout con ..
Sinon, en cherchant a inverser des matrices , j'ai trouvé une méthode ( pour les matrices carrées) où l'on effectue des opérations élémentaires sur les lignes pour revenir à la matrice identité et on refait ces mouvement ensuite sur l'identité pour trouver l'inverse. OK, pas de problèmes.
Ce qui m'intrigue c'est que pour une matrice inversible on revient toujours a la matrice identité . Comment le prouver ?
Merci !
C'est niquel comme algorithme, je m'attendais a un truc vachement plus compliqué mais en fait c'est tout con ..
Sinon, en cherchant a inverser des matrices , j'ai trouvé une méthode ( pour les matrices carrées) où l'on effectue des opérations élémentaires sur les lignes pour revenir à la matrice identité et on refait ces mouvement ensuite sur l'identité pour trouver l'inverse. OK, pas de problèmes.
Ce qui m'intrigue c'est que pour une matrice inversible on revient toujours a la matrice identité . Comment le prouver ?
Merci !
par Nightmare » 18 Sep 2010, 13:47
Salut,
deux choses :
1) Par définition, A est inversible si et ssi il existe une matrice B telle que AB=BA=In, B étant l'inverse de A
2) toute matrice inversible est produit de matrices élémentaires, ie les matrices qui correspondent aux opérations élémentaires, comme les matrices qui permutent des lignes ou en font des combinaisons linéaire.
A partir de là, tu peux essayer de répondre à ta question.
:happy3:
deux choses :
1) Par définition, A est inversible si et ssi il existe une matrice B telle que AB=BA=In, B étant l'inverse de A
2) toute matrice inversible est produit de matrices élémentaires, ie les matrices qui correspondent aux opérations élémentaires, comme les matrices qui permutent des lignes ou en font des combinaisons linéaire.
A partir de là, tu peux essayer de répondre à ta question.
:happy3:
par benekire2 » 18 Sep 2010, 14:13
Salut nightmare !
Je vais méditer ceci cette après midi, et chercher .
Merci beaucoup ! :zen:
Je vais méditer ceci cette après midi, et chercher .
Merci beaucoup ! :zen:
par benekire2 » 18 Sep 2010, 15:37
J'ai un problème au démarrage,
On veut prouver que
est l'inverse de A avec les 
les matrices élémentaires associées aux opérations élémentaires sur les lignes.
Il suffit donc d'appliquer ton résultat 2) qui dit que toute matrice est produit de matrices élémentaires i.e que ici
Mais je n'arrive pas a prouver ce résultat justement ,
La seule chose que je sais c'est que évidemment on peut forcément trouver une matrice B telle que pour une matrice élémentaire P on ait A=PB et que donc on peut remonter de proche en proche comme ça , par contre rien ne me dit que je vais tomber sur l'identité a un moment ,
Merci de votre aide !
On veut prouver que
Il suffit donc d'appliquer ton résultat 2) qui dit que toute matrice est produit de matrices élémentaires i.e que ici
Mais je n'arrive pas a prouver ce résultat justement ,
La seule chose que je sais c'est que évidemment on peut forcément trouver une matrice B telle que pour une matrice élémentaire P on ait A=PB et que donc on peut remonter de proche en proche comme ça , par contre rien ne me dit que je vais tomber sur l'identité a un moment ,
Merci de votre aide !
par Ben314 » 18 Sep 2010, 16:07
Salut,
A mon avis, tu cherche de façon beaucoup trop théorique :
Le résultat "toute matrice inversible est produit de matrices élémentaires"
est un résultat... totalement élémentaire : il resulte du fait que la méthode du pivot de Gauss consistant, dans un système de n équation à n inconnues, à :
- Ajouter à une des lignes du système un multiple d'une autre ligne.
- Echanger deux lignes du système.
Et bien, cette "méthode" permet de résoudre le système dans le cas où la matrice de départ du système est inversible.
Au départ, ton système s'écrivait AX=B (A:matrice, X,B vecteurs colonnes) et, aprés résolution, tu as X=??, c'est à dire Id.X=?? : tu as donc transformé ta matrice A en Id en ne faisant que des opérations élémentaires sur les lignes de A.
En résumé, s'il y a quelque chose de "carré-carré" à démontrer, c'est pourquoi la méthode du pivot de Gauss fonctionne !!!
De même la méthode dont tu parle pour calculer A^(-1) avec des produits de matrices élémentaires correspond à regarder en terme de produit de matrices élémentaire comment fonctionne la méthode du pivot de Gauss dans le cas du calcul de A^(-1) :
On écrit le système d'équation correspondant à AX=Y et on cherche à le résoudre. Si on y arrive et qu'il y a une unique solution, c'est q'on a un truc du style X=BY et, évidement, cela signifie que A est inversible d'inverse B. On est donc parti de AX=Id.Y, c'est à dire du couple (A,Id) et, aprés une série d'opérations sur les lignes, on a aboutit à (Id,B) où B est l'inverse de A.
A mon avis, tu cherche de façon beaucoup trop théorique :
Le résultat "toute matrice inversible est produit de matrices élémentaires"
est un résultat... totalement élémentaire : il resulte du fait que la méthode du pivot de Gauss consistant, dans un système de n équation à n inconnues, à :
- Ajouter à une des lignes du système un multiple d'une autre ligne.
- Echanger deux lignes du système.
Et bien, cette "méthode" permet de résoudre le système dans le cas où la matrice de départ du système est inversible.
Au départ, ton système s'écrivait AX=B (A:matrice, X,B vecteurs colonnes) et, aprés résolution, tu as X=??, c'est à dire Id.X=?? : tu as donc transformé ta matrice A en Id en ne faisant que des opérations élémentaires sur les lignes de A.
En résumé, s'il y a quelque chose de "carré-carré" à démontrer, c'est pourquoi la méthode du pivot de Gauss fonctionne !!!
De même la méthode dont tu parle pour calculer A^(-1) avec des produits de matrices élémentaires correspond à regarder en terme de produit de matrices élémentaire comment fonctionne la méthode du pivot de Gauss dans le cas du calcul de A^(-1) :
On écrit le système d'équation correspondant à AX=Y et on cherche à le résoudre. Si on y arrive et qu'il y a une unique solution, c'est q'on a un truc du style X=BY et, évidement, cela signifie que A est inversible d'inverse B. On est donc parti de AX=Id.Y, c'est à dire du couple (A,Id) et, aprés une série d'opérations sur les lignes, on a aboutit à (Id,B) où B est l'inverse de A.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 18 Sep 2010, 16:16
Merci Ben !
Je vois mieux maintenant , c'est vraiment tout con quand on admet la méthode du pivot de gauss , suffirait donc de montrer que si A est inversible alors le système AX=B peut être ramené à un système triangulaire supérieur, et je crois que ça doit passer par récurrence.
Merci :id:
Je vois mieux maintenant , c'est vraiment tout con quand on admet la méthode du pivot de gauss , suffirait donc de montrer que si A est inversible alors le système AX=B peut être ramené à un système triangulaire supérieur, et je crois que ça doit passer par récurrence.
Merci :id:
par Ben314 » 18 Sep 2010, 17:00
Concernant la méthode du pivot, comme on fait petit à petit "apparaitre" des 0 dans la matrice, il est bien évident que ça fonctionne.
Si on veut absolument trouver une petite difficulté, c'est sans doute dans la preuve du fait que :
A inversible (au sens il existe B tel que AB=BA=Id) ssi la méthode du pivot de Gauss pour résoudre AX=Y aboutit (i.e. on ne se retrouve pas bêtement coincé à un moment donné)
Mais le sens <= est assez évident et pour => il suffit de regarder la contraposé : il est assez façile de montrer que, lorsque la méthode déconne cela prouve que la matrice n'est pas inversible.
Si on veut absolument trouver une petite difficulté, c'est sans doute dans la preuve du fait que :
A inversible (au sens il existe B tel que AB=BA=Id) ssi la méthode du pivot de Gauss pour résoudre AX=Y aboutit (i.e. on ne se retrouve pas bêtement coincé à un moment donné)
Mais le sens <= est assez évident et pour => il suffit de regarder la contraposé : il est assez façile de montrer que, lorsque la méthode déconne cela prouve que la matrice n'est pas inversible.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par gigamesh » 19 Sep 2010, 10:58
Salut Benekire2,
si tu veux vraiment te gaver de maths,
il y a 1 bouquin qui est bien (et pas trop cher en plus 32),
c'est "toutes les Mathématiques" de Verschueren et Logé,
chez ellipses (c'est un bouquin pour sup et spé en fait).
Pour le pivot de Gauss, c'est page 79.
si tu veux vraiment te gaver de maths,
il y a 1 bouquin qui est bien (et pas trop cher en plus 32),
c'est "toutes les Mathématiques" de Verschueren et Logé,
chez ellipses (c'est un bouquin pour sup et spé en fait).
Pour le pivot de Gauss, c'est page 79.
par benekire2 » 19 Sep 2010, 13:04
Salut gigamesh , je veut pas me "gaver" de math, j'aime pas le terme,
Disons que les maths je trouve ça beau et que a chaque fois je veut connaître des trucs plus forts plus puissants.
Merci du tuyau pour le livre ! Perso j'ai le Dunod tout en un et c'est déjà bien complet, évidemment le pivot de gauss est dedans ,
Merci :we:
Disons que les maths je trouve ça beau et que a chaque fois je veut connaître des trucs plus forts plus puissants.
Merci du tuyau pour le livre ! Perso j'ai le Dunod tout en un et c'est déjà bien complet, évidemment le pivot de gauss est dedans ,
Merci :we:
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