Lignes nodales de l'opérateur de Laplace sur le disque (cond

[Ouimet21]

Bonjour,

Je dois montrer que de toutes les fonctions propres de l'opérateur de Laplace sur le disque avec condition de Neumann sur la frontière, seule la 1re fonction propre (qui est constante et donc possède aucune lignes nodales) a toutes ses lignes nodales qui ne touchent PAS la frontière.

En fait, avec la forme générale des fonctions propres, qu'on peut trouver dans les livres, on peut montrer cette assertion, mais j'aimerais avoir un argument plus élégant.

Par exemple, on sait que c'est impossible pour la 2e fonction propre par l'inégalité de Friedlander qui dit que
pour tout

En effet, par le théorème de Courant, la 2e fonction propre a au plus 2 domaines nodaux, alors si on suppose que sa ligne nodale est une courbe fermée qui ne touche pas la frontière (on note l'intérieur par ), alors on aura



où et dénote respectivement les fonctions propres avec condition de Neumann (resp. Dirichlet) sur la frontière du domaine considéré. La 1re égalité vient du fait que la 2e fonction propre (de Neumann) restreinte au domaine sera la 1re fonction propre du problème de Dirichlet sur . La 1re inégalité découle par monotonie car et la 2e inégalité découle par le théorème de Friedlander.

C'est donc une contradiction.

Maintenant j'aimerais montrer, possiblement de façon similaire, que c'est aussi impossible en général d'avoir une fonction propre dont toutes les lignes nodales ne touchent pas la frontière (dans le cas de Neumann car c'est possible dans le cas de Dirichlet).

L'idée serait soit de ramener le cas général au cas de la 2e fonction propre ou bien d'utiliser le théorème de Friedlander combiné avec un autre argument.

Des suggestions?