Opération entre un tenseur d'ordre 4 et un tenseur d'ordre 2

[Wiggins]

Bonjour à tous,

En deux lignes, sans contexte pour les matheux qui n'ont pas mon temps :
Soient , et 3 tenseurs d'ordre 2.

Quelle est l'opération entre un tenseur d'ordre 4 et un tenseur d'ordre 2 qui permet d'écrire


Sinon pour ceux qui veulent du contexte :
Je suis en train de lire un ouvrage de mécanique des milieux continus pour bien démarrer une thèse sur l'accélération de méthodes éléments finis qui démarre en Septembre. Comme mon problème est issu d'un ouvrage de physique, j'espère que vous comprendrez que le cadre mathématique n'est pas rigoureusement défini, mais je suis justement là à cause de ça.

Aucune connaissance en physique n'est nécessaire pour comprendre mon souci. Pour les intéressés, est le tenseur de Cauchy-Green à droite, est un potentiel hyperélastique.

est un tenseur d'ordre 2, inversible, d'inverse .

est une grandeur scalaire dépendant de , c'est donc une application de dans .

L'auteur dérive par rapport à et on obtient l'expression suivante :
avec et deux constantes réelles.

L'auteur dérive une seconde fois par rapport à :
où est le produit tensoriel.

Ainsi on est amené à calculer que l'auteur donne en notation indicielle
D'après l'auteur le résultat est obtenu en partant de avec une somme sur (convention de sommation d'Einstein).

Je souhaite faire la démonstration de qui n'est pas expliquée dans le livre, et que je voudrais faire en notation matricielle directement, et donc je me retrouve à la ligne suivante en appliquant la formule de la dérivée d'un produit:



Le problème c'est que je n'arrive pas à comprendre/définir l'opération (volontairement notée par un point d'interrogation) pour arriver à poursuivre la démonstration.

Ce que j'ai compris :

- est un tenseur d'ordre 4

- L'équation est une égalité entre tenseurs d'ordre 4, par exemple est le tenseur nul d'ordre 4

- est donc une opération entre un tenseur d'ordre 4 et un tenseur d'ordre 2 et résulte en un tenseur d'ordre 4. Si on veut être pointilleux il y a même deux opérations différentes selon si le tenseur d'ordre 2 est en première ou seconde position, vu que l'opération est à mon avis non-commutative.

En définissant correctement cette opération je pense qu'on peut poursuivre la démonstration comme ceci:



avec (tenseur identité d'ordre 4 peut-être?)

Ici je voudrais multiplier par à gauche pour obtenir l'équation . À noter que par multiplier j'entends faire une opération qui est certainement l'opération mais je n'en suis même pas certain.

Je ne sais pas s'il est plus judicieux d'effectuer tous ces calculs en notation matricielle ou en notation indicielle, la première nécessite de définir des opérateurs que je ne connais pas, la seconde devient rapidement surchargée d'indices et de sommes.

Si quelqu'un a une vision plus claire que moi sur les opérations entre tenseurs d'ordres différents je suis preneur, j'aimerais débroussailler tout ça dans mon esprit.

Merci beaucoup,
Wiggins

[alanbry75]

Bonjour,

Je ne sais pas si tu as déjà trouvé la réponse, mais au cas où voici ce que je comprends:

Je ne connais pas trop les termes "notations matricielles" et notations indicielles, mais en gros, tu veux calculer la matrice de la différentielle de l'application qui a une matrice associe son inverse. Tu peux faire un DL

On a et donc .
En développant, on trouve
et donc , où ici, la multiplication est la multiplication des matrices. D'un point vu indiciel, cette formule s'écrit

Autrement dit, ton "4 tenseur" associe à la matrice de la base canonique de (i.e. la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui en k-ieme ligne et l-ieme colonne) la matrice
Donc la matrice de la différentielle par rapport aux bases canoniques au départ et à l'arrivée de à bien comme coefficients
(où k,l sont les indices des coordonnées par rapport à la base de l'espace de départ et i,j sont les indices des coordonnées par rapport à la base d'arrivée).