Je dois faire cet exercice mais je bloque complètement à la fin... Voici son énoncé :
n et p sont deux entiers naturels non nuls.
On dispose de p objets numérotés de 1 à p et de n boîtes B1,..., Bn
On range de manière quelconque les p objets dans les n boîtes.
1. Combien y a-t-il de rangements possibles ?
2. Dans cette question seulement, on pose p=2n
Quel est le nombre de rangements pour lesquels chaque boîte contient deux objets exactement ?
3. (a) Combien y-a-t-il de rangements pour lesquels B1 ne contient pas d'objets ?
(b) Combien y-a-t-il de rangements pour lesquels B1 et B2 ne contiennent pas d'objets ?
(c) Combien y-a-t-il de rangements pour lesquels au moins une boîte ne contient pas d'objets ? (Formule du crible pourra être utilisée)
(d) Combien de rangements pour lesquels aucune boîte n'est vide ?
(e) En déduire que si n est supérieur ou égal à p+1 on a l'égalité :
= 04. Combien y-a-t-il de rangements pour lesquels exactement une boîte ne contient pas d'objets ?
5. (a) Combien y a t il de rangements pour lesquels exactement r boîtes ne contiennent pas d'objets ?
(b) En déduire l'identité :
n-1 et n-5 sont les bornes, ce n'est pas très clair ci dessus.
Voici ce que je propose :
1. La réponse est :
2. Pour celle ci je dois avouer que je ne sais pas vraiment comment m'y prendre... Je comprends bien que chaque boîte doit contenir deux objets donc j'arrive à voir que dès que j'ai sélectionné une boîte dans laquelle j'ai mis deux objets, il me reste (n-1) choix de boîtes et (p-2) choix d'objets, puis (n-2) et (p-4), ensuite (n-3), (p-4) et à la fin il devrait y avoir (n-n) et (p-p)... Bref, je ne parviens pas bien à conceptualiser tout cela...
3. Pour ces réponses, je ne suis pas vraiment sur également...
(a) Il faut et suffit de choisir la boîte B1 et de placer 0 objets : un choix
Puis de placer le reste des p objets parmi (n-1) boîtes.
Au total :
(b) J'applique le même raisonnement mais avec 2 boîtes.
(c) Pour celle ci, j'applique la formule du crible et je me retrouve a la fin avec :
Etant donné que k c'est le nombre de boîtes ne contenant pas d'objets.
(d) Bon ça je passe au complémentaire.
(e) C'est à partir de là que mes doutes disparaissent pour faire place à l'incompréhension la plus totale ! Donc pour la (e) je ne sais pas quoi répondre.
4. Idem.
5.(a) La j'aurais répondu n'importe quoi c'est à dire :
D'ailleurs en l'écrivant je me rends compte que c'est vraiment très faux.
Bref, j'ai beaucoup de mal à comprendre la fin !!
Merci encore !