Noyau et souvenir

[flight]

salut à tous !

à mon tour de poser des questions, on peut pas etre bon partout;

ca fait un moment que j'ai quitté la prépa, (10a)

je souhaiterai rememorer la manière de determiner pour une matrice carré

d'une AL la facon de trouver Imf et une base de celle ci , j'en ai un

souvenir assez vague, d'une decomposition en matrice echellonée

(par le pivos de gauss puis effectuer un recencement du nombre maximal de

vecteur libres ) ce qui donne je crois le résultat , mais je ne suis plus sur du

tout!! pourriez vous m'expliquer avec une matrice exemple à l'appui?

merci encor pour le temps que vous pourrez accorder à cette question.

[flight]

personne?...

[abcd22]

Pour trouver une base de l'image, par exemple on peut commencer par résoudre AX=0 pour trouver une base du noyau donc sa dimension, ensuite grâce au théorème du rang on trouve le rang r de la matrice, et comme l'image est engendrée par les vecteurs colonnes, on cherche r vecteurs colonnes linéairement indépendants, qui formeront une base de l'image.
Je ne me rappelle pas d'une méthode avec le pivot de Gauss, on peut l'utiliser pour trouver le rang en se ramenant à une matrice de la forme avec T triangulaire supérieure à diagonale non nulle de dimension r×r. En « retenant »* les opérations qu'on fait c'est peut-être possible de l'utiliser pour trouver une base de l'image (je n'y ai pas réfléchi), mais ça me semble plus compliqué que la 1e méthode.

* un peu de la même façon que la méthode qui permet de calculer l'inverse avec le pivot de Gauss : on part d'une matrice A inversible, et en faisant des opérations uniquement sur les lignes ou uniquement sur les colonnes on se ramène à l'identité, au fur et à mesure des opérations on fait la même chose en partant de l'identité, on obtient une matrice B qui vaut A¯¹.

[yos]

Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment évidemment une partie génératrice de Imf. Les opérations élémentaires sur les colonnes Ci <---Ci+kCj
ne changent pas l'espace engendré (Imf). Tu peux les mener de manière structurée (pivot de Gauss) pour te ramener à un nombre minimal de colonnes (une base de Imf).