Norme

[mehdi-128]

Bonjour,

Ca va peut être vous paraitre évident mais ça fait tellement longtemps que j'ai pas fait ça que je me souviens plus du tout :

D'où provient cette égalité ?




Je voulais redémontrer l'égalité du parallélogramme et montrer que la norme infinie n'est pas euclidienne.

[NicoTial]

Cela provient du fait que ta norme est associée à un produit scalaire qui est bilinéaire( N(x)=(x/x)²)
(attention N(u+v) est au carré aussi )

[Lostounet]

Bonjour,

Ca va peut être vous paraitre évident mais ça fait tellement longtemps que j'ai pas fait ça que je me souviens plus du tout :

D'où provient cette égalité ?




Je voulais redémontrer l'égalité du parallélogramme et montrer que la norme infinie n'est pas euclidienne.

En partant d'un produit scalaire <;> qui est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée définie positive, tu peux regarder ce que donne <u + v; u + v> = |u + v|^2 en développant.

Ensuite pour prouver que la norme infinie n'est pas euclidienne, tu peux essayer avec un contre exemple simple de voir qu'elle ne satisfait pas à l'identité du parallélogramme (regarde par exemple dans R^2 muni de la norme infinie). Mais avant tu pourras regarder pourquoi cela suffit à prouver que la norme est non euclidienne.

[mehdi-128]

Merci pour vos réponses en utilisant bilinéarité et la symétrie du produit scalaire :

Donc :


Ainsi :

Je vois pas trop pour le contre exemple faut que je trouve un vecteur x =(x1,....,xn) de R^n qui vérifie pas l'égalité ?

[Lostounet]

Essaye avec genre (1 ; -1) (1 ; 1) ... des trucs comme ça

[mehdi-128]

Essaye avec genre (1 ; -1) (1 ; 1) ... des trucs comme ça

Avec votre exemple l'égalité du parallélogramme n'est pas respectée ça donne : 4=2

Mais je crois qu'il faut donner un exemple dans R^n et pas seulement R^2

[mehdi-128]

Essaye avec genre (1 ; -1) (1 ; 1) ... des trucs comme ça

C'est bon je l'ai trouvé un exemple de R^n dans la base canonique (e1,e2,...,en) :

x=e1
y=e2

Ca donne 2 = 4 donc contradiction