Norme

[Mulan]

Bonjour, merci de me corriger,

L'expression || f(x) || = intégrale de 0 à 1 |f(x)| dx definit elle une norme sur :
1) Sur l'ensemble des polynômes réels d'une variable réelle définis sur R.
2) Sur l'ensemble des fonctions réelles continues sur R.

1) E = R[X]

|| lambda f || = intégrale de 0 à 1 | lambda f | dx
= intégrale de 0 à 1 |lambda| |f| dx
= |lambda| intégrale de 0 à 1 | f | dx
= | lambda | || f || pour tout f dans E et lambda dans R.

soient f , g dans E

|| f + g || = intégrale de 0 à 1 | f+ g | dx
< ou égal intégrale de 0 à 1 | f | + |g| dx
= intégrale de 0 à 1 |f| dx + intégrale de 0 à 1 |g|dx
= ||f|| + ||g||

supposons ||f|| = 0
intégrale de 0 à 1 |f| dx = 0
donc |f| = 0

2) E = C ( [a,b], R )

J'ai fais la même chose que au dessus du coup je ne vois pas la différence entre les 2.

Merci

[Doraki]

Si l'intégrale sur [0;1] de |f(x)|dx = 0, alors pour tout x de [0;1], f(x)=0 ok.
mais j'aimerais comprendre comment tu fais pour en déduire que f=0 (dans le cas des polynômes et dans le cas des fonctions réelles définies sur R)

[Mulan]

Justement je ne sais pas comment faire ca me semble évident dans les deux cas mais je n'ai pas de preuve pour ca.

Pouvez vous me donner quelques indications svp pour que je trouve.

[Doraki]

commence par les fonctions réelles continues sur R.

T'es sûr que si une fonction continue est nulle sur [0;1] alors elle est nulle partout ?

[Mulan]

Bein non on peut trouver des contre exemple très rapidement,

fn(x) = 0 si x dans [0,1]
= x-1 x supérieur à 1

[bentaarito]

et donc est-ce une norme sur IR^IR? sur IR[X]??

[Mulan]

bein si on prend sur [1,0] oui sinon il faut etudier le cas [a,b]