On considère les normes de
1. 1/
2. 1/n
3. 1/
4. Trouver une matrice B
Norme matricielle 1, 2 et infini inégalité
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Norme matricielle 1, 2 et infini inégalité
par chouette39 » 22 Avr 2014, 15:42
Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cette exercice avec les normes matricielles... Je connais les relations avec des normes vectorielles mais j'arrive pas à appliquer mes résultats à ces normes....
On considère les normes de
suivantes :
:=)
,
:= max(|xi|),
:= 
[/TEX] . Pour tout A
Mn(R), montrer les inégalités suivantes :
1. 1/
2. 1/n 
n
3. 1/
4. Trouver une matrice B 
(R) non symétrique telle que 
< 
On considère les normes de
1. 1/
2. 1/n
3. 1/
4. Trouver une matrice B
par chouette39 » 22 Avr 2014, 16:39
Oui les normes 1, 2 et infinies sont des normes subordonnées ! :lol3:
par Thomas Joseph » 22 Avr 2014, 19:39
Bonjour,
une modeste contribution, mais qui te permettra peut-être d'avancer un peu.
Sur la seconde question, voici un raisonnement (qui serait à formaliser proprement) pour traiter la seconde inégalité :
La norme 1 correspond à la somme sur la colonne max.
La norme infinie correspond à la somme sur la ligne max.
Si on suppose que norme 1 de A est supérieure à n fois la norme infinie de A alors n fois la somme de la plus grande colonne est supérieure à n² la somme de la plus grande ligne donc plus grande que n fois la somme sur la matrice.
On obtient donc que n fois la somme d'une ligne est supérieur à n fois la somme sur la matrice.
Ce qui est contradictoire.
En espérant avoir contribué.
une modeste contribution, mais qui te permettra peut-être d'avancer un peu.
Sur la seconde question, voici un raisonnement (qui serait à formaliser proprement) pour traiter la seconde inégalité :
La norme 1 correspond à la somme sur la colonne max.
La norme infinie correspond à la somme sur la ligne max.
Si on suppose que norme 1 de A est supérieure à n fois la norme infinie de A alors n fois la somme de la plus grande colonne est supérieure à n² la somme de la plus grande ligne donc plus grande que n fois la somme sur la matrice.
On obtient donc que n fois la somme d'une ligne est supérieur à n fois la somme sur la matrice.
Ce qui est contradictoire.
En espérant avoir contribué.
par Ben314 » 22 Avr 2014, 20:09
Salut,
On peut effectivement chercher la façon "explicite" de calculer les normes des matrices dans les 3 cas (voire dans les cas où on ne met pas la même norme sur l'espace de départ et d'arrivée) : c'est très intéressant et assez utile, mais un peu compliqué en particulier pour
(qui est la racine carré de la plus grande valeur propre de 
...)
On peut aussi essayer de déduire des encadrement en partant de ceux connus sur les normes de vecteurs :
Supposons que tu ait deux normes
et 
sur les vecteurs de 
et que tu conaisse deux constantes 
telle que, pour tout 
, on ait \leq N'(X)\leq dN(X))
.
Alors, pour tout
, et toute matrice 
,tu as }{N'(X)}\leq \frac{d N(AX)}{c N(X)}\)
ce qui montre que \leq \frac{d}{c}N(A))
De même dans l'autre sens,}{N(X)}\leq \frac{\frac{1}{c} N'(AX)}{\frac{1}{d} N'(X)}\)
ce qui montre que \leq \frac{d}{c}N'(A))
Partant des l'inégalité "classique" concernant les 3 normes en question, c'est à dire
1)
pour tout
2)
pour tout
3)
pour tout
tu peut en déduire les inégalités demandées sans trop te fatiguer...
Pour la question 4), j'aurais tendance, pour ne as trop me fatiguer en ce qui concerne le calcul de
a prendre pour B une matrice de rotation (=isométrie pour la norme 2)... :zen:
On peut effectivement chercher la façon "explicite" de calculer les normes des matrices dans les 3 cas (voire dans les cas où on ne met pas la même norme sur l'espace de départ et d'arrivée) : c'est très intéressant et assez utile, mais un peu compliqué en particulier pour
On peut aussi essayer de déduire des encadrement en partant de ceux connus sur les normes de vecteurs :
Supposons que tu ait deux normes
Alors, pour tout
De même dans l'autre sens,
Partant des l'inégalité "classique" concernant les 3 normes en question, c'est à dire
1)
2)
3)
tu peut en déduire les inégalités demandées sans trop te fatiguer...
Pour la question 4), j'aurais tendance, pour ne as trop me fatiguer en ce qui concerne le calcul de
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par chouette39 » 22 Avr 2014, 20:32
Il faut donc d'après vous que j'utilise les inégalités que vous notez 1, 2 et 3 pour montrer ce que l'on me demande ? Par contre, comment les obtenez vous ?
par Ben314 » 22 Avr 2014, 20:34
Pour la plupart d'entre elles, il suffit d'écrire les définitions et "ça coule de source".
Pour celles un peu plus dures, il me semble qu'on s'en sort facilement avec Cauchy-Schwartz...
En regardant plus en détail, tout "coule de source" sauf
qui se déduit de Cauchy-Schwartz.
Pour celles un peu plus dures, il me semble qu'on s'en sort facilement avec Cauchy-Schwartz...
En regardant plus en détail, tout "coule de source" sauf
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par chouette39 » 22 Avr 2014, 20:46
D'accord, merci beaucoup, je vais essayer de regarder ça alors ! :lol3:
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