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par **kaya** » 10 Fév 2006, 15:14

salut à tous! ca fait un bail!
je suis en début d'année là en 2 ème A, et j'essaie de resoudre un probleme:
montrer que

ne peut jamais être un entier.
en fait c'était un exercice que j'ai trouvé dans le net dont je ne m'en souvient pas l'adresse et comme entête il y MPSI3...
la façon dont je me suis procéder est la suivante: j'ai supposé que il existe n tel que

soit entier et ensuite Mq n n'existe pas
mais je n'y arrive pas...
Ou l'autre, j'est fais par reccurence, n=2 1+0.5 n'est pas entier; on suppose que

n'est pas entier et on montre que

ne l'est pas aussi mais je trouve que c'est strctement inévident...

j'sais pas si j'suis un peu rouillé mais en tout cas j'ai besoin de votre aide
Merci!

par **Alexa [Bot]** » 10 Fév 2006, 15:31

Je crois que ça se fait très bien en regardant les entiers entre

et

divisibles par la plus grande puissance de

possible et en choisissant parmi ceux là le plus grand d'entre eux.

par **redwolf** » 10 Fév 2006, 15:37

Bonjour.

Si l'on sait qu'il y a toujours un nombre premier compris entre un entier et son double, c'est facile.

En effet, soit

le plus grand nombre premier inférieur à

. Il n'y a aucun autre multiple de

parmi les nombres

(car

est supérieur à

).
On met toutes les fractions sur le dénominateur

.

divise

et

divise tous les numérateurs sauf celui de la fraction égale à

. Il ne divise donc pas le numérateur de la somme, et le quotient n'est pas un entier.

par **isortoq** » 10 Fév 2006, 15:53

On peut aussi faire une récurrence ; si tu appelles An ta somme (qui est une somme partielle de la série harmonique...) tu as A2=3/2 ; A3=11/6. Ce sont des quotients d'un entier impair par un entier pair.
Tu fais alors l'hypothèse de récurrence que : A(n-1)=(2p+1)/2q où p et q sont des entiers positifs... et en distinguant les cas n=2m+1 et n=2m tu finis par arriver au résultat...

par **yos** » 10 Fév 2006, 17:36

isortoq a écrit:On peut aussi faire une récurrence ; si tu appelles An ta somme (qui est une somme partielle de la série harmonique...) tu as A2=3/2 ; A3=11/6. Ce sont des quotients d'un entier impair par un entier pair.
Tu fais alors l'hypothèse de récurrence que : A(n-1)=(2p+1)/2q où p et q sont des entiers positifs... et en distinguant les cas n=2m+1 et n=2m tu finis par arriver au résultat...

Salut. Pour le cas n=2m tu as A(n)=[m(2p+1)+q]/(2qm) et après?

Sinon il y a une autre méthode qu'on a déjà donnée sur ce forum : on met
1+1/2+...+1/n au même dénominateur (pair). Le num est impair car somme de n-1 nombres pairs et d'un impair (correspondant à la plus grande puissance de 2 parmi 1,2,...,n).

par **isortoq** » 10 Fév 2006, 20:46

yos a écrit:Salut. Pour le cas n=2m tu as A(n)=[m(2p+1)+q]/(2qm) et après?

Sinon il y a une autre méthode qu'on a déjà donnée sur ce forum : on met
1+1/2+...+1/n au même dénominateur (pair). Le num est impair car somme de n-1 nombres pairs et d'un impair (correspondant à la plus grande puissance de 2 parmi 1,2,...,n).

Ouais, c'est pas direct pour A2m... Il faut écrire :

A2m=(Am)/2 +1+1/3+...+1/(2m-1)

et y'a besoin d'une récurrence forte pour dire que Am=(2p+1)/2q...

Mais ta remarque, évidemment, ça marche, mais faut réfléchir !!! et le vendredi soir... pfouh...

par **yos** » 10 Fév 2006, 22:50

La méthode de la mise au même dénominateur marche aussi pour la somme
1/n + 1/(n+1)+...+1/m pour 0Question : qu'en est-il de la somme des inverses de a,a+b,a+2b,...,a+kb?

par **El_Gato** » 12 Fév 2006, 20:45

Autre question connexe: bien que

ne soit jamais entier, quelle est la distance de l'ensemble

à

? J'ai l'impression que c'est 0 mais je ne sais pas si c'est facile à montrer.

par **chulzi** » 12 Fév 2006, 21:08

Question : qu'en est-il de la somme des inverses de a,a+b,a+2b,...,a+kb?

ben moi je pense ke cette somme est divergente, comme la somme de l'invers de 1,2,3,........,k. qu'on peut démontrer qu'elle divergente grace a la négation de la définition d'une suite de cauchy. mais bon reste a démontrer.

par **redwolf** » 12 Fév 2006, 21:53

Bonsoir.

Réponse à la question du Gato : la distance est 0 puisqu'on dépasse tous les entiers en ajoutant des morceaux de plus en plus petits. Le morceau que tu ajoutes au moment où

dépasse 1000000 est vraiment minuscule....

Chulzi : la somme est divergente, bien sur. Mais prend-elle des valeurs entières ?

par **yos** » 12 Fév 2006, 22:57

redwolf a écrit:Chulzi : la somme est divergente, bien sur. Mais prend-elle des valeurs entières ?

Merci a toi pour la traduction.

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