Montrer que xcos x <1

[klevia]

Bonsoir,
Quelqu'un serait-il montrer que pour tout x appartent à [0,pi/2], xcos x <1
Merci bcp

[raito123]

salut,
calcul f' derivé de f(x)=1-xcosx
puis f'' derivé de f'(x)=xsinx-cosx
tu trouvera f''>0
dresse tableau de variation de f, f' ,f'' .tu deduira ensuite que f'>0 aussi.
et puis facilement du rededuira (lol) que f>0
ensuite tu as xcox<1

[klevia]

Euh non, désolé
f'(0)=-1 et f'(pi/2)=pi/2
donc f'(x) nest pas touours positive, me semble-t-il ...

[alben]

Eh pourquoi ne pas faire simple ?
Si x<1, xcos(x) est bien inférieur à 1
si x€[1,pi/2], cos(x) est inférieur à cos(1)<0,55 et x < pi/2
donc x cosx <0,55pi/2<0,87 :we:

[klevia]

Merci alben, mais pourquoi cos 1<0.55, si tu utilises ta calculatrice c'est pas un peu triché ?
la calculatrice te trace cette fonction et tu vois clairement que xcos x <1 ....
Merci en tout cas de ta réponse
Pour moi c'est l'heure du dodo !!

[raito123]

faute d'inatention dsl

[alben]

A la limite, tu peux développer cos x < 1-x²/2+x^4/4!=1-0,5+1/24

[klevia]

Merci à tous de vos réponses
De toute évidence, il n'y a rien de "simple" et la valeur exacte de x pour que xcos x soit égale à 0 n'est pas facile à trouver .... J'avais peur d'oublier un truc évident ...
Je vous remercie du temps passer à ce petit problème
A bientot

[ThSQ]

De toute évidence, il n'y a rien de "simple"

Je sais pas ce que tu appelles "simple" mais il y a des solution à stuces sans calcul.

En une ligne :
On sait que tan(x) > x pour pi/2 > x > 0 donc xcos(x) = 0 et max xcos(x) = max (Pi/2-x)sin(x)
Donc (Pi/2-x)sin(x) <= (Pi/2-x)x <= (Pi/4)^2 < 1 (xy <= ((x+y)/2)^2)

[klevia]

Merci ThSQ pour tes réponses pleine de stuces !! ^^