N, montrer que n + 0 = n

[Pseuda]

Bonsoir,

On introduit comme un ensemble muni d'un ordre total , et de deux opérations, addition (+) et multiplication (.), compatible avec l'ordre.

Toute partie non vide de admet un plus petit élément. Toute partie majorée de admet un plus grand élément. 0 est le plus petit élément de .

Pour , il existe un unique élément tel que . On le note .

Comment montre-t-on que ? Je n'y arrive pas, j'arrive seulement à montrer que .

J'ai l'impression qu'il manque un axiome : il en faudrait un de plus qui dise que l'addition "augmente" les nombres : .

[Lostounet]

Salut Pseuda,

Comment tu définis l'opération addition déjà? (Par curiosité). Dans mon cours elle est définie comme une application et par sa définition 0+n=n et pour tout p dans N, n+s(p)=s(p+n) un truc comme ça récursif.

Mais peut être est-ce simpliste

[Pseuda]

Bonsoir Lostounet et merci.

Je crois que je viens de trouver : on a forcément , car pour , on pose . Donc , ce qui me manquait.

Donc l'addition est définie dans mon livre par une différence entre 2 entiers (soit une soustraction). Bizarre.

Et la multiplication n'est pas du tout définie.

[Ben314]

Salut,

On introduit comme un ensemble muni d'un ordre total , et de deux opérations, addition (+) et multiplication (.), compatible avec l'ordre.
Toute partie non vide de admet un plus petit élément. Toute partie majorée de admet un plus grand élément.
0 est le plus petit élément de .
Pour , il existe un unique élément tel que . On le note ..

Le problème avec ton truc (et je trouve qu'à la lecture c'est pas mal piège à con), c'est que non seulement les trucs en bleu sont des axiomes, mais le truc en vert doit lui aussi être un axiome vu qu'avec uniquement les trucs en bleu, rien n'empêche ton ensemble d'être égal à {3,4,5,6,...} muni de l'ordre, de l'addition et de la multiplication usuelle.
Et dans ce cas ton "zéro", c'est 3 et ce n'est pas un élément neutre pour l'addition.
Donc tu est effectivement obligé d'utiliser l'axiome en vert pour montrer que 0 est neutre de l'addition, c'est à dire que tu es obligé de passer par 0=n-n.

Et comme le dit Lostounet, c'est un peu "atypique" comme présentation axiomatique des entiers : en général, on reste "relativement proche" des axiomes de Peano.

[Pseuda]

Bonjour,

Tout ce qui est en bleu et en vert est un axiome. Ce qui est en rouge est une définition. On définit 0 comme le plus petit élément de , 1 comme le plus petit élément de N\{0} (le successeur de 0), .... n comme le plus petit élément de N\{0,1,...n-1}.

En posant dans l'axiome vert, il existe un unique entier tel que , soit . Comme , , donc , donc (en ajoutant des 2 côtés et en utilisant l'axiome vert pour dire que ).

Là où Lostounet m'a mise sur la voie, c'est que dans cette axiomatique de N, l'addition n'est pas définie directement (il est dit nulle part que l'addition "augmente" les nombres). Mais en fait, si elle l'est, par l'axiome écrit en vert, et qui permet aussi de montrer que . Donc que

Je suis d'accord pour dire que cette approche est bizarre ; l'addition est définie à l'"envers" : on prend deux entiers de N (n et p), et on dit que l'addition se définit par le plus grand des deux (n), égale au plus petit (p) + l'unique entier (posé en axiome) qui fait la différence des deux (q=n-p). Pas très naturel.

[Pseuda]

Bonsoir,

A la réflexion, ce qui est en vert est peut-être une simple conséquence de la définition de l'addition des entiers, que le livre ne donne pas. Seulement avec ce qui est écrit, je ne vois pas comment l'addition a bien pu être définie.

Merci à tous.

[Ben314]

A mon sens, les trucs en bleu et vert, ce sont des axiomes (*), donc il n'y a pas à définir l'addition vu qu'elle fait partie des les axiomes en questions.
Par contre, là où c'est plus que louche, c'est qu'avec uniquement ces axiomes, on peut éventuellement montrer que l'addition a les propriétés usuelles (0=neutre, commutativité, associativité), mais il est clair qu'on ne risque pas de montrer quoi que ce soit concernant la multiplication avec comme seule et unique hypothèse qu'elle est compatible avec la relation d'ordre.

Bref, ça me semble de plus en plus "bien bancale" comme axiomatique de N...
C'est tiré d'où ton truc ?

(*) Un truc qui commence par "On introduit N comme...", je vois pas trop ce que ça pourrait être d'autre que des axiomes ce qu'il y a écrit ensuite.

[Pseuda]

Ce "On introduit N comme", c'est moi qui l'écrit, c'est pas le livre (MPSI chez Dunod), qui d'ailleurs précise que cette construction de N n'est pas rigoureuse.

Mais s'en suit des démonstrations dans lesquelles manque justement ce "n=n+0" (qui l'utilisent en le passant sous silence).

Oui c'est vrai, cela ne peut pas être une construction rigoureuse. Comme tu le dis très justement, il manque les propriétés concernant la multiplication, qui sont indémontrables avec juste la relation d'ordre.

Je vais me documenter sur l'introduction rigoureuse de N.

Merci !

[Lostounet]

Tu enseignes en MPSI l'an prochain, Pseuda?

[Pseuda]

Bonsoir Lostounet,

Pourquoi pas ? Non j'essaie (assez difficilement) de récupérer mon niveau de maths de L2-L3 car j'estime qu'il faut avoir ce niveau-là pour pouvoir exercer un bon enseignement au lycée.

[Lostounet]

Bravo en tout cas Pseuda de toujours vouloir faire du mieux et bon courage.