Montrer la négligeabilité d'une intégrale devant exp(x)

[Yavzz]

Bonjour, je bute sur une question,
je souhaiterais que l'on me donne des pistes pour montrer que la fonction g(x) = est négligeable devant la fonction exponentielle quand x tend vers - infini.

Pour cela, j'ai essayé d'encadrer la fonction par 0 (positivité de l'intégrale) et = 1, puis après de diviser le tout par exp(x) (strictement postif sur R) et de faire tendre vers - infini, mais je me suis rendu compte à la fin que c'était une mauvaise idée. :briques:

Avec une intégration par parties, ça semble compliquer beaucoup de choses.

Bref, je sèche.
Merci de votre aide d'avance.

[tize]

Bonjour,
ce que tu veux montrer revient à dire que .
Que peux tu dire de l'intégrale ?...

[Yavzz]

En - infini, cette intégrale tend vers 0.
On se retrouve avec un indétermination entre l'exponentielle et l'intégrale, sauf si on peut étudier ça, mais je ne vois pas comment.

[tize]

Oui mais il n'y a pas d'indetermination...donc en résumé g(x) tend vers 0 en -l'infini et aussi donc tend vers ?...

[Yavzz]

Oui mais il n'y a pas d'indetermination...donc en résumé g(x) tend vers 0 en -l'infini et aussi donc tend vers ?...

Non, tend vers 0 en - infini, mais tend vers + infini en - infini

[tize]

Désolé j'ai bouletté :briques: je regardai en +infty
Bon je cherche

[Yavzz]

Désolé j'ai bouletté :briques: je regardai en +infty
Bon je cherche

J'avais fait la même erreur avec mon encadrement au début, mais j'me suis rendu compte en me relisant hier que c'était faux.

[tize]

Ok j'ai quelque chose :
avec t=1-u; puis faire une IPP...cette fois ca marche bien :we:

[Yavzz]

Ok j'ai quelque chose :
avec t=1-u; puis faire une IPP...cette fois ca marche bien :we:

J'ai appliqué le changement de variable t = 1-u, puis une IPP.
Après l'intégrale issue de l'IPP tend vers 0 en - infini.
Il nous reste donc notre "u(t).v(t)", or en + infini (changement de bornes de l'intégrale avec loe changement de variable...) u(t).v(t) tend également vers 0

Donc on obtient -exp(x-1).ln( 1-x) que l'on divise par exp(x) pour avoir notre négligeabilité.
En simplifiant, on se retrouve avec : -exp(-1).ln(1-x) et on regarde, sa limite en - infini qui tend vers + infini à cause de ln(1-x).

Donc soit le changement de variable ne fonctionne, soit j'ai fait une erreur de calcul.
Je refais le calcul pour vérifier.

[tize]

J'ai fait l'autre IPP :we: .
, et donc :
et cette dernière intégrale peut être majorée par où l'intégrale tend vers 0 quand x tend vers - l'infini...