[Résolu] Manipulation de la négligeabilité dans les calculs.

[Cratholf]

Bonjour,

En relisant une correction d'exercice, je tombe sur l'égalité suivante, que je n'arrive pas à rigoureusement expliciter :



Pourriez-vous me détailler les étapes ?

En particulier, a-t-on l'égalité ?

J'ai du mal à comprendre les comparaison dans les calculs...

Merci d'avance !

[jlb]

Salut


Pourriez-vous me détailler les étapes ? OUI

En particulier, a-t-on l'égalité ? OUI ( un o(x) c'est un o(racine(x))!
J'ai du mal à comprendre les comparaison dans les calculs...

o(x) = x. e(x) =racine(x). (racine(x)e(x)) avec e(x) tend vers 0 quand x tend vers 0 ( du coup racine(x).e(x) aussi)

Tu calcules en factorisant par puis en utilisant la technique quantité conjugué et la remarque précédente sur o(x), tu as ton résultat.

[Doraki]

Si f est dérivable en a, f(a+o(x)) = f(a) + o(x)

Donc

sqrt(1+o(x)) = 1+o(x)
1/sqrt(1+o(x)) = 1/(1+o(x)) = 1+o(x)
1/2sqrt(x(1+o(x))) = (1+o(x))/2sqrt(x) = 1/2sqrt(x) + o(sqrt(x))

[Cratholf]

Merci pour vos réponses.

Si f est dérivable en a, f(a+o(x)) = f(a) + o(x)

Cette propriété résoudrait beaucoup de mes problèmes !! Comment la démontre-t-on ? Car elle est absente de mon cours, mais semble pourtant essentielle !

Cordialement,

[bentaarito]

C'est juste le DL à l'ordre 1 avec l'hypothèse de dérivabilité en a qui assure que le terme
f'(a) soit borné, donc peut etre ramené à l'intérieur du "o"

[Cratholf]

C'est juste le DL à l'ordre 1 avec l'hypothèse de dérivabilité en a qui assure que le terme
f'(a) soit borné, donc peut etre ramené à l'intérieur du "o"

Effectivement, j'ai compris ! Merci à vous !

[Doraki]

mais semble pourtant essentielle !

Elle l'est !
tu peux même remplacer le o(x) par o(u(x)) pour u(x) borné ou par O(u(x)) pour u(x) qui tend vers 0.

Par définition de la dérivabilité,
(f(a+x)-f(a))/x tend vers f'(a), donc est borné au voisinage de x=0.
C'est-à-dire f(a+x) = f(a) + O(x) (pour x qui tend vers 0)

Après c'est juste une histoire de "composition" de o ou de O

Si u(x) tend vers 0, (f(a+u(x)) - f(a))/u(x) est borné, c'est-à-dire f(a+u(x)) = f(a) + O(u(x))

maintenant si u(x)/v(x) tend vers 0 avec v borné (c'est-à-dire u(x) = o(v(x))),
ça fait que u(x) tend vers 0 donc ((f(a+u(x)) - f(a))/u(x))*(u(x)/v(x)) tend vers 0, c'est-à-dire f(a+u(x)) = f(a) + o(v(x)), donc on a montré "l'égalité" f(a+o(v)) = f(a) + o(v)

De même si u(x)/v(x) est borné et que v tend vers 0 on fait la même chose et on conclut que f(a+O(v)) = f(a)+O(v)

[Cratholf]

Effectivement, je comprends !

Merci pour les éclaircissements !