Moments

[MacManus]

Bonjour,

Il s'agit d'un exercice de probabilité sur les fonctions caractéristiques et les moments de variables aléatoires. Je suis parvenu à calculer les résultats ci-dessous, mais je reste bloqué sur 2 derniers calculs...Voici le début de l'exercice:

Soit Y une V.A. suivant la loi normale centrée réduite N(0,1).
Sa fonction caractéristique pour la loi normale N(m,) est :
Donc pour N(0,1), on a :
Les moments d'ordre de k (k ) de Y sont :
si k est impair
si k est pair

Soit où les sont des V.A. indépendantes et de même loi de densité :
Je sais que la suite de V.A. converge en loi vers N(0,1).
J'ai calculé la fonction caractéristique de cette suite de V.A. et j'obtiens :


Problèmes :

Comment calculer le moment d'ordre k de cette suite de V.A. : ??
Comment prouver que ??

La dernière question ne semble pas très difficile si l'on a répondu à la précédente...(peut-être :happy3: )
Merci beaucoup pour votre aide !

[MacManus]

Les moments d'ordre de k (k ) de Y sont :
si k est impair
si k est pair

D'après mon cours, les moments se calculs de cette manière : . Est-ce que je peux aussi utiliser la méthode suivante :
??

[HC53]

salut manu !!!
pour la fonction caractéristique, tu devrai trouver :
phi Sn/racine 2n ( lambda) = (1 / (1 + lambda²/2n))^n = (1 + lambda²/2n)^-n
car phi X1 (lambda) = 1 / (1 + lambda²)
ensuite pour la question d'après tu dois utiliser : (1+u)^a = somme de k=0 a infini : [a(a-1) ... (a-k+1)]/k! * u^k (dvpt taylor)
avec u = lambda²/2n et a = -n

[MacManus]

Coucou HC53 :happy3:

Oui j'ai trouvé comme toi en fait :
(tu as divisé par 2n à l'intérieur après et c'est sûrement pour ça que tu as vu un DL) Ok merci pour l'astuce !

Vive la Mayenne !