Méthode de Lagrange

[AceVentura]

Bonsoir.
On se donne une fonction f de classe sur un intervalle (avec a0[/tex] ; il est alors dit qu'il faut échanger les rôles de a et de b sinon : je ne vois pas pourquoi.

Il est également dit que la suite est bien définie.
Donc je suppose . Le seul problème est alors si .
Si alors donc f est strictement croissante et donc injective. Alors .
Si alors donc f est strictement décroissante et donc injective. Alors .

Dans tous les cas, . La démonstration s'achève ici. Je ne vois pas du tout pourquoi est-ce une contradiction !
Un petit coup d'pouce
Merci.

[Finrod]

Tu as oublié qq détails dans ton recopiage d'énoncé :

Quelle est la question ? (résoudre f(x)=0 peut être ? )

Ne manque-t-il pas d'hypothèses ?

Perso j'ai vu un exo similaire, avec f' et f'' de signe constant dans les hypothèses.


L'affirmation Si f''>0 et alors f'>0 est fausse.

f' pourrait très bien être négative si a<0.

L'histoire de , idem. Il manque des liens logique. Je ne dis pas que c'est entièrement de ta faute, c'est peut être le document avec lequel tu travailles qui est expéditif ou incomplet.

Essai de voir si tu peux faire mieux pour l'énnoncé. Ca augmentera la proba que l'on trouve une réponse.

[AceVentura]

Oui, f est une application de [a,b] à valeurs réelles et telle que f(a)f(b)0[/TEX]. Puis il est dit qu'on aurait pu choisir en échangeant les rôles de a et b. Cela, je ne l'ai pas compris.

Est-ce plus clair ainsi ?

[Finrod]

Oui, et j'ai auss retrouvé le théorème sur un pdf. Quand tu dis f strictement croissante, tu as donc bien f' de signe constant aussi dansles hypothèses.

Il faut d'abord montrer que est croissante majorée (dans le premier cas, dans le second elle est décroissante minorée).

Elle converge donc. On vérifie que sa limite ne peut être que le point fixe de la fonction f.

Edit : Pour ta question sur l'inversion de a et b. Cela veut juste dire que dans le cas où f' et f'' sont de même signe, il faut prendre cette suite et dans le cas ou elles sont de signe distinct, il faut prendre une suite analogue avec a à la place de b dans la déf de la suite.

[Doraki]

J'imagine que quand t'écris f' ° f'', en fait tu veux dire f' * f'' ?

[AceVentura]

Oui, et j'ai auss retrouvé le théorème sur un pdf. Quand tu dis f strictement croissante, tu as donc bien f' de signe constant aussi dansles hypothèses.

[INDENT]En fait, f est une application de [a,b] avec a<b et à valeurs réelles telle que f(a)f(b)<0. De plus, f est continue sur [a,b].
On suppose alors que f admet un unique zéro sur [a,b].[/INDENT]

J'en ai donc déduis du théorème des valeurs intermédiaires la strict monotonie de la fonction f. Est-ce correct ?
Mais pour autant, cela ne signifie pas que f' soit strictement positive (ou négative) comme le prouve la fonction cubique.
Les hypothèses qui suivent sont alors :
[INDENT]f est de classe sur [a,b], f'' a un signe constant et strictement positive (cela sans perte de généralité, en échangeant les rôles de a et b)[/INDENT]
J'ai pas saisi la toute dernière partie.

J'imagine que quand t'écris f' ° f'', en fait tu veux dire f' * f'' ?

Oui.

[Finrod]

J'en ai donc déduis du théorème des valeurs intermédiaires la strict monotonie de la fonction f. Est-ce correct ?

Non c'est faux. Avoir un seul zéro ne suffit pas pour être monotone.

Mais pour autant, cela ne signifie pas que f' soit strictement positive (ou négative) comme le prouve la fonction cubique.

Une fonction croissante sur un intervalle donné à une dérivé positive sur cet intervalle.
Si elle est strictement croissante, la dérivé est strictement positive.

[AceVentura]

Mais le fait qu f(a)f(b)<0 + la continuité de f sur [a,b] + le théorème des valeurs intermédiaires implique l'existence d'un zéro pour f.
Si on suppose en plus l'unicité de ce zéro, cela n'implique pas la strict monotonie de f sur [a,b] ?

[Doraki]

quand f'' < 0 et que f(a) < 0 < f(b) il se passe effectivement des trucs horribles.

[Finrod]

Essai pas ex, sur ce site http://grapheur.cours-de-math.eu/

la fonction sur l'intervale [1/2,2]

elle est décroissant, puis croissante, et n'a qu'un seul zéro.

Edit : Merci Doraki pour cette aide précieuse.

Tu saurais pas comment montrer que est toujours négatif, par hasard ?
ça permet de monter que est croissant et clot l'exo.

[AceVentura]

Ok. Par contre, j'aimerai revenir sur :

Une fonction croissante sur un intervalle donné à une dérivé positive sur cet intervalle.
Si elle est strictement croissante, la dérivé est strictement positive.

Que dire de la fonction cubique ?

[Finrod]

La fonction cubique, que tu peut aussi tracer sur le lien est strictement croissante et sa dérivée est strictement positive, sauf en zéro.

Le "sauf en zéro" vient du fait que la dérivée seconde change de signe. Ce qui n'est pas le cas dans ton exo.

[Doraki]

Tu saurais pas comment montrer que est toujours négatif, par hasard ?
ça permet de monter que est croissant et clot l'exo.

Si j'imagine que f(xn) 0,
Bah xn+1 est l'abscisse de l'intersection de la droite passant par (xn,f(xn)) et (b,f(b)) avec l'axe y=0,
Ca doit pas être trop dur de montrer grâce à la positivité de f'' que (xn+1, 0) est au dessus du graphe de la courbe, donc que f(xn+1) < 0.

[Finrod]

En effet.

Donc l'exercice est bel et bien résolu.

Des questions Ace ?

[AceVentura]

Voici une petite précision du "cadre" :
[INDENT]f est une application de [a,b] avec a0
et lorsque f'f''<0[/INDENT]

Donc ici, plusieurs choses à prouver.
D'une part que la suite est bien définie. Il faut prouver que différent de pour chaque n, et je n'y parviens pas.

D'autre part, qu'elle converge.
Il faut alors montrer qu'elle est croissante et majorer par ce qui assure la convergence. Puis, notant l sa limite, elle vérifie et donc . On aurait donc si et donc par unicité. Mais pourquoi donc ?

[AceVentura]

Bah xn+1 est l'abscisse de l'intersection de la droite passant par (xn,f(xn)) et (b,f(b)) avec l'axe y=0,

Oui, on approche la courbe par des sécantes passant par et et la suite définie par et l'abscisse du point d'intersection de la corde avec l'axe .

En fait, la suite du théorème est une ré-écriture du fait que les pentes des sécantes et sont identiques, où le point .

On a ainsi et donc .

Mais pourquoi , et sont non nuls ?

[Doraki]

quand tu dis "lorsque f'f'' < 0", c'est en quel point ? parceque f' peut changer de signe lui (cf exemple de finrod plus haut). Et c'est plus sensé de regarder si f(a) < 0 < f(b) ou l'inverse. C'est à dire de décider selon le signe de f(b)*f'' par exemple.

Bon outre les bizarerries de l'énoncé du théorème, pour tes questions pour justifer que la suite (xn) est bien définie,
ça devrait être faisable rapidement par récurrence.
x0 = a et a <> b, etc.

[Finrod]

Voici une petite précision du "cadre" :
[INDENT]f est une application de [a,b] avec a<b à valeurs réelles, strictement monotone et continue sur [a,b]. On suppose de plus que f change de signe sur [a,b].[/INDENT]

Cela assure alors l'existence et l'unicité d'un avec , me trompe-je ?

C'est vrai.



Par convexité, Doraki dit que l'on peut prouver que rest négatif. dans le premier, cas, où f est croissante, cela revient à dire que est majoré par. Donc la suite ne peut valoir c et son image par f ne peut valoir f(c).

En gros, par récurrence, tu montre que le terme général de la suite est bien défini et majoré par .

Je n'ai pas compris à quoi s'appliquait le "mais pourquoi donc ?" du premier message.

[Finrod]

quand tu dis "lorsque f'f'' b, etc.

On lui demande visiblement de regarder uniquement les cas f'f''>0 et f'f''<0; Comme f'' est de signe constant, l'hypothèse f' de signe constant est finalement présente implicitement.

[AceVentura]

quand tu dis "lorsque f'f'' b, etc.

Donc la proposition serait .
est-elle vraie ?
Il s'agit de voir pourquoi car dans le cas contraire , par strict monotonie sur [a,b], f est injective et donc on aurait f(b)=f(a) et donc b=a ce qui est absurde.

implique ?
Je ne vois pas d'où je vais tirer des informations de