Meilleure approximation avec méthode d'euler ou série entière tronquée

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duchere
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Meilleure approximation avec méthode d'euler ou série entière tronquée

par duchere » 08 Mar 2009, 18:50

Bonjour,
je suis plus physicien que matheux, et voici ma question :
J'ai un système différentiel. Et je veux déterminer les solutions sur 0, tmax
J'ai deux choix :
- appliquer la méthode d'Euler avec un pas dt, d'où n=tmax/dt itérations
- Trouver le développement en série entière de ma solution à l'ordre n (et en l'occurence l'algorithme utilisé demande n itération pour déterminer ce développement en série entière à l'ordre n

Quelle méthode permet la meilleure approximation ?

Il me semble que Euler donne une approximation avec une erreur en 1/n pour une fonction bornée (...?)
Et que le développement en série entière donne une approximation avec une erreur en tmax^n/factorielle n (majoration du reste intégral)

Mais ces souvenirs sont lointains.
1) Les ordres des approximations que j'avance sont-ils corrects ?
2) Le développement en série entière tronqué à l'ordre n est-il donc plus performant ?

Merci d'avance



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leon1789
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par leon1789 » 08 Mar 2009, 19:02

duchere a écrit:Mais ces souvenirs sont lointains.
1) Les ordres des approximations que j'avance sont-ils corrects ?

oui, avec des fonctions suffisamment régulières (et pas trop particulières)

duchere a écrit:2) Le développement en série entière tronqué à l'ordre n est-il donc plus performant ?

Un développement limité est une bonne approximation locale de la solution, i.e. au voisinage de ton point de départ. Des qu'on s'éloigne, on ne contrôle plus trop... et ça peut être très mauvais... comme ça peut rester très correct...

La méthode d'Euler approxime la solution sur une intervalle, mais c'est une méthode peu performante ! On peut très facilement améliorer Euler pour obtenir une erreur en 1/n² :
au lieu de calculer y_(n+1) = y_n + h . f(x_n, y_n)
prendre y_(n+1) = y_(n-1) + 2h . f(x_n, y_n)
La différence de programmation est quasiment nulle, mais le résultat est nettement meilleur !

Après, il y a plus performant, mais plus compliqué...

duchere
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par duchere » 08 Mar 2009, 19:09

Merci beaucoup pour ta réponse rapide.
Je suis fier de ma mémoire pour les ordres de grandeurs ;-)

1) Peut-on encore parler de développement limité lorsque je vais jusqu'à l'ordre 60 voire 200 ou 1000 ?
N'est-ce pas carrément une approximation par un polynôme ? Lorsqu'on augmente l'ordre, on augmente le changement d'ordre, comme lorsqu'on approxoxime le sinus à son développement limité à l'ordre 60

2) En pratique, je n'ai pas vraiment accès au système différentiel, ce qui fait que j'ai vraiment le choix qu'entre méthode d'euler ou série entière tronquée

Merci encore
Bonne aprem

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leon1789
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par leon1789 » 08 Mar 2009, 19:23

1) Une série tronquée = un polynôme !

2) Peux-tu appliquer l'approximation en série tronquée sur quelques points consécutifs ?

duchere
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par duchere » 08 Mar 2009, 19:27

J'ai fait quelques tests, et expérimentalement, voilà ce que je retiens
Lorsque cela oscille énormément, et longtemps, du genre lorsqu'on veut voir des battements (oscillations à amplitude elle même oscillante(moins vite que les oscillations elles-mêmes)), eh bien dans ce cas, déjà que la méthode d'euler rame, mais alors la méthode des séries entières tronquées n'arrive, elle, même pas à recracher un résultat !
En revanche, lorsque cela n'oscille pas trop, lorsque les variations sont gentilles, eh bien, la méthode des séries entières est bien plus performante !
Ca revient un peu à ce que tu as dit à propos du caractère local.
Cela vient aussi d'un point de vue plus global aux normes infinies des dérivées n-ièmes

En espèrant n'ayant pas trop blasphémé les maths

Bonne aprem

duchere
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par duchere » 08 Mar 2009, 19:46

Tu as raison, la meilleure méthode serait d'effectuer la méthode des séries tronquées sur un petit intervalle, en déduire le nouvel état initial, et recommencer.
Je ne pense pas que je vais le mettre en oeuvre par manque de temps, mais ce serait certainement cela le plus performant, puisqu'on est meilleur en local tout en restant global !
Merci beaucoup pour tes éclaircissements

 

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