Matrices

[trocho]

Bonjour.

J'ai plusieurs questions à résoudre sur les matrices. Je suis bloqué à différents endroits. Voici le premier:

Montrer que l'inverse d'une matrice définie positive est aussi une matrice définie positive.

Amicalement,
Trocho

Edit: finalement, ça s'est bon.

Deuxième problème: soit A une matrice carrée d'ordre n définie positive, B une matrice n*m rectangulaire de noyau réduit à {0}. Je dois montrer que

est définie positive, ( est la transposée de B)

[Maxmau]

Bj

X colonne , X* la colonne transposée , S symétrique définie positive
X* S^(-1) X = Y*SY en posant X =SY

[trocho]

Bonjour Maxmau. Comment dois-je utiliser ton indication?

Pour moi, il faut montrer que admet des valeurs propres strictement positives, et ce grâce à celles de , ou de celles de A, ce qui revient presque au même, puisqu'elles sont liées entre elles.

J'ai pensé poser Y=BX, ce qui donne, si Y est vecteur propre de associé à la valeur propre ,


Est-ce une bonne idée? Et si oui, comment conclure?

Merci.

[Maxmau]

Bj

X colonne , X* la colonne transposée , S symétrique définie positive
X* S^(-1) X = Y*SY en posant X =SY

Donc pour tout X non nul (d'où Y non nul) Y*SY > 0 et donc X* S^(-1) X > 0

Tu peux aussi montrer que les vp de S^(-1) sont > 0

Autre méthode encore: Montrer que S est le produit de 2 matrices inversibles transposées l'une de l'autre

[Maxmau]

Bonjour.


Deuxième problème: soit A une matrice carrée d'ordre n définie positive, B une matrice n*m rectangulaire de noyau réduit à {0}. Je dois montrer que

est définie positive, ( est la transposée de B)

Utilise la définition
montre que si X non nul X*B*A^(-1)BX = (BX)*A^(-1)BX > 0

[trocho]

Merci!

C'est résolu!

Bonne journée.